Specialiosios reliatyvumo teorijos „paslaptys“: kopėčių paradoksas

Prieš pradedant, siūlome užduoti sau kelis klausimus. Ar gali būti taip, kad greitai judantys daiktai sutrumpėja? Ar tikite, kad įvykiai, kurie vieno stebėtojo atžvilgiu vyksta tuo pačiu metu, kitam stebėtojui gali atrodyti nevienalaikiai? Ar įmanoma, kad Žemėje gyvenantis žmogus sensta greičiau, negu kosmose skraidantis jo dvynys?

Žinoma, SRT į visus šiuos klausimus atsako griežtu „taip”. Šiandien atidžiau pažvelgsime į vadinamąjį „Kopėčių paradoksą“, susijusį su pirmaisiais dviem klausimais.

Ūkininkų intuicija

Ūkininkai Petras (P) ir Nijolė (N) turi mėlyną tvartą, kurio ilgis L, ir dvigubai ilgesnes raudonas kopėčias (jų ilgis - 2L). Petras ir Nijolė yra tvarkingi ūkininkai, todėl jie nenori, kad kopėčios mėtytųsi kieme ir maišytųsi po kojomis. Vienintelė išeitis – kopėčias įtalpinti į tvartą. Tačiau kaip tai padaryti?

N siūlo P gerokai įsibėgėti ir tada, remiantis Specialiąja reliatyvumo teorija, kopėčios sutrumpės. Konkretumo dėlei pasirinkime tokį greitį, kad kopėčios sutrumpėtų dvigubai. Užbėgdami už akių pažymėsime, kad kalbame apie labai didelį greitį (apie 90% šviesos greičio). Vadinasi, sakyti, kad Petras „bėga“ yra ne visai korektiška. Tiksliau būtų sakyti, kad Petras skrenda raketa ar pan., bet kadangi tai nekeičia uždavinio esmės, nekorektiškąjį „bėga“ vartosime ir toliau. Taigi, dėl greito judėjimo kopėčių ilgis taps L (vietoj 2L!) ir jos kaip tik tilps į tvartą.

Bet su tokiu teiginiu P kategoriškai nesutinka - žiūrint iš jo atskaitos sistemos, tvartas prie jo artės tokiu pat greičiu, kokiu jis bėgs. Todėl sutrumpės ne kopėčios, o pats tvartas! Remiantis analogiškais SRT skaičiavimais išeina, kad Petras matys L/2 ilgio tvartą ir 2L ilgio kopėčias. Tada kopėčios bus 4 kartus ilgesnės už tvartą ir, aišku, į jį netilps. Intuicija sako, kad abu ūkininkai teisūs būti negali. Kaip išsiaiškinti, kuris iš jų klysta? Pabandykime patobulinti tvartą.

Įsivaizduokime, kad tvartas turi dvi automatines duris. Petras su kopėčiomis bandys įlėkti pro priekines duris ir išbėgti pro galines duris. Iš pradžių priekinės durys būna atidarytos, o galinės - uždarytos. Priekinės durys užsiveria vos tik visos kopėčios atsiduria tvarte (pavadinkime šį įvykį raide C), o galinės durys atsiveria vos tik kopėčių priekis jas pasiekia (įvykis D). Jei nors akimirkai abi durys yra užsidariusios (laiko tarpas tarp C ir D), vadinasi, kopėčios į tvartą tilpo. Jei laiko tarpas tarp C ir D yra mažesnis už nulį, vadinasi, kopėčios į tvartą netilpo, nes galinės durys atsivėrė prieš užsidarant priekinėms. Akivaizdžiai teisinga, ar ne?

Erdvėlaikio diagramos

Ūkininkų ginčui išspręsti pasitelksime porą nesudėtingų paveiksliukų, moksliškai vadinamų “erdvėlaikio diagramomis”. Paveiksliukai gali pasirodyti šiek tiek neįprasti, nes palyginus su mokyklinėje fizikoje braižomais grafikais, jie yra „paversti ant šono“. Toks įspūdis susidaro todėl, kad mūsų diagramose vertikali ašis žymi laiką, o horizontali – erdvę (koordinatę). Šį (ne patį patogiausią) pasirinkimą padarėme todėl, kad skaitytojas galėtų palyginti mūsų ir kitų šaltinių diagramas, nes visur kitur jos braižomos būtent taip.

Be to, pasirinkome iš pirmo žvilgsnio nepraktiškus matavimo vienetus – laiką matuosime metais, o atstumą – šviesmečiais (kiek atstumo šviesa nusklinda per metus). Aišku, kopėčių ilgis sudaro labai labai mažą šviesmečio dalį, o Petras po kiemą lakstys daug trumpiau nei metus, visgi, tokie matavimo vienetai yra patogūs. Priežastis: šviesa sklinda 45 laipsnių linijomis, nes per 1 metus ji nueina 1 šviesmetį.

Sužinojome, kad šviesa sklinda 45 laipsnių linijomis, o tuo pačiu gavome ir nemokamą informacijos priedą. Juk niekas negali judėti greičiau už šviesą, visų kitų kūnų trajektorijos (judėjimo linijos) privalės būti pakrypusios mažiau nei 45 laipsnius nuo vertikalės. Taip yra todėl, kad norėdami įveikti tą patį atstumą, kiti kūnai turės sugaišti daugiau laiko, negu šviesa. Taigi, šviesą nuo visų kitų kūnų judėjimo diagramose atskirsime lengvai.

Norėdami gerai suprasti paveiksliukus, atkreipkime dėmesį dar į porą dalykų. Vietoje stovintis kūnas brėžia vertikalią trajektoriją, nes bet kuriuo laiko momentu tokio daikto pozicija yra ta pati. Keli tokiu pat greičiu judantys daiktai brėžia lygiagrečias linijas. Galiausiai, prieš pradėdami traukti iš paveiksliukų fizikinę išmintį, pasirinkime patogius žymenis. Diagramose kopėčių priekį pavadinsime J, o galą - K. Priekines tvarto duris žymėsime G, galines - H.

Du požiūriai

Visų pirma pasižiūrėkime į reikalą iš Nijolės perspektyvos (Pav. 1).

Primename, kad mėlynos linijos vaizduoja tvartą, o raudonos – kopėčias. Nijolė stovi šalia tvarto, todėl jai atrodo, kad tvartas nejuda. Dėl to nejuda nei priekinės, nei galinės durys, o jų trajektorijos – mėlynos linijos – yra vertikalios. Tuo tarpu kopėčios juda Nijolės link iš kairės, nes Petras jas neša, bėgdamas dideliu greičiu. Dėl tos priežasties kopėčių erdvėlaikio trajektorija yra pasvirusi į dešinę vos mažesniu už 45 laipsnius kampu. Abu kopėčių galai juda tuo pačiu greičiu, todėl raudonos linijos yra lygiagrečios viena kitai. Įvykiai C ir D įvyksta tuo pačiu metu (nes matome, kad juos galima sujungti horizontalia linija), vadinasi, kopėčios tikrai būna tilpusios į tvartą, nors ir tik akimirką.

Vaizdelis Petro akimis yra gerokai kitoks (Pav. 2).

Pirmasis skirtumas – kaip jau aptarėme, Petras mato daiktus kitokio ilgio negu Nijolė. Be to, Petras bėga ir neša kopėčias, todėl jo atžvilgiu kopėčios nejuda (raudonosios linijos yra vertikalios). Tuo tarpu tvartas artėja prie Petro iš dešinės tuo pačiu greičiu, todėl tvarto duris atitinkančios linijos turi būti pasvirusios į kairę artimu 45 laipsniams kampu. Matome, kad įvykis D įvyksta anksčiau negu C – kopėčios į tvartą netelpa!

Piktesnis skaitytojas gali sušukti, kad reliatyvumo teorija yra visiška nesąmonė, jei ji net negali vienareikšmiškai atsakyti į klausimą, ar kopėčios telpa į tvartą. Visgi nešokime prie išvadų neapsvarstę dar vieno varianto.

Moteriškas atkaklumas

Šiuo kritiniu uždavinio sprendimui momentu paaiškėja, kad Nijolė yra labai atkakli – vietoj to, kad nusileistų Petrui, ji pasiūlo dar vieną tvarto patobulinimą, kuris galimai išspręstų ginčą jos naudai. „Kas būtų,– klausia ūkininkė,– jei galines tvarto duris H pakeistume nepramušama mūrine siena?“. Vos Petras su kopėčiomis įlėks į tvartą, priekinės durys užsitrenks ir kopėčios nori nenori liks tvarte, nepriklausomai nuo to, kieno akimis žiūrėsi. Lieka vienintelis klausimas – ar priekinės durys išvis kada nors užsitrenkia, tai yra, ar įvykis C kada nors įvyksta? Kaip pamename, įvykio C egzistavimui pritarė ir Petras. Atrodo, Nijolė turi gerus šansus laimėti ginčą, bet pažiūrėkime atidžiau.

Lyrinis nukrypimas

Anksčiau ar vėliau gyvenime visi esame ką nors stūmę (stalą, kėdę, automobilį...), bet turbūt retas iš mūsų yra susimąstęs, kokiu greičiu stumtelėjimo poveikis pasiekia kitą stumiamo objekto pusę. Pasirodo, stūmimo poveikis (moksliškai vadinamas „suspaudimo banga“) keliauja stumiamosios medžiagos garso greičiu. Įsitikinti, jog tas greitis nėra begalybė, galima ištempus nelabai standžią spyruoklę - pvz. tokį žaisliuką:

Iš vienos pusės spyruoklę stumtelėjus stebėsime, kaip sutankėjimas (stumtelėjimo poveikis) keliauja visu spyruoklės ilgiu.

Reliatyvumo teorija teigia, kad didžiausias įmanomas greitis yra šviesos greitis. Ši riba galioja taip pat ir garso greičiui medžiagose. Kaip tai susiję su kopėčiomis? Tuoj paaiškinsime!

Atgal į kaimą

Taigi, priekinės durys užsitrenkia, vos visos kopėčios atsiduria viduje. Šiam įvykiui realizuoti nereikia per atstumą perdavinėti jokios informacijos, užtenka, pavyzdžiui, kad Nijolė stovėtų prie durų ir uždarytų jas vos tik kopėčioms įlindus vidun.

Iš kitos pusės, vienas kopėčių galas niekaip negali akimirksniu sužinoti, kaip sekasi kitam galui. Taip yra dėl paprastos priežasties - kopėčių galai yra nutolę tam tikru atstumu (normalių žmonių kartais vadinamu “kopėčių ilgiu”) vienas nuo kito. Vadinasi, kopėčių galas K negali iškart sužinoti, kad J atsitrenkė į sieną (įvykis D), nes kaip jau minėjome, garso greitis yra baigtinis. Atsižvelgdami į šią informaciją pakoreguokime diagramas ir aptarkime, kas vyksta.

Diagramose pažymėjome naują tašką E.

E žymi anksčiausią laiko momentą, kai galas sužino, kad priekis atsitrenkė į sieną. Žinoma, trukmė tarp šitų dviejų įvykių bus mažiausia, jei garso greitis kopėčiose yra lygus šviesos greičiui.

Matome, kad abiem atvejais C atsitinka anksčiau negu E. Kitaip tariant, tvarto durys užsitrenkia prieš vienam kopėčių galui sužinant, kad kitas atsitrenkė į sieną. Tai reiškia, kad kopėčios susispaudė ir jas tikrai įmanoma sukišti į dvigubai per trumpą tvartą.

Deja, straipsnio autorius spėja, kad kopėčių (o tuo pačiu ir į jas įsikibusio Petro) likimas niūrus. Po labai trumpo laiko, maždaug lygaus tam, kurį spaudimo banga užtruks keliaudama kopėčiomis, įvyks kažkas destruktyvaus: atsiras skylė duryse, kopėčios subyrės, arba, geriausiu atveju, jei kopėčios labai elastingos, jos tiesiog pasidarys dvigubai trumpesnės. Tačiau tai jau nebe Einšteino teorijų, o kopėčių gamintojų reikalas.