Jūs esate čia: Pradžia » Visos temos » Mokslas » Įdomusis mokslas

Daugeliui skaudi tema ir tuo pačiu, netikėtas mokslo paradoksas: kodėl jūsų draugai turi vidutiniškai daugiau draugų nei jūs?

2016-12-02

(4)

(7)

(110)

Tai straipsnis iš rašinių ciklo. Peržiūrėti ciklo turinį

Rūšis:	Standartinė publikacija
Autoriai:	Aleksejus Kononovičius

Ar jums niekad neatrodė, kad jūsų draugai populiaresni, daugiau bendraujantys, nei jūs pats? Mokslas teigia, kad jums šiuo požiūriu tikrai nesivaidena. Ir tai tikrai nėra dar viena keista žmogiško pasaulio pažinimo „algoritmų“ ypatybių sukuriama iliuzija. Tiesą sakant, dauguma žmonių jaučiasi, – tiksliau, turėtų jaustis, – lygiai taip pat. Gali būti, kad net ta patraukli vakarėlių liūtė kartais patiria populiarumo stygių. Bet ji veikiausiai klysta :)

Prisijunk prie technologijos.lt komandos!

Laisvas grafikas, uždarbis, daug įdomių veiklų. Patirtis nebūtina, reikia tik entuziazmo.

Sudomino? Užpildyk šią anketą!

Mokslas apie kurį norėčiau jums papasakoti šiame tekste vadinamas tinklų teorija ir apie jį pasakosiu būtent per šio, vadinamo „draugų,“ paradokso prizmę. Elementariam šio paradokso paaiškinimui, publikuotas American Journal of Sociology žurnale, šiemet sukanka 25 metai. Pradėkime nuo penkių žmonių tarpusavio pažinčių rato analizės pavaizduotos paveiksle žemiau.

Penkių žmonių tarpusavio pažinčių ratas. Žmones atitinka apskritimai, o jų tarpusavio pažintys pažymėtos linijomis. Jei apskritimų linija nesujungia, tai tie du žmonės vienas kito nepažįsta. Pvz., A pažįsta B, bet nepažįsta D.

Suskaičiuokime, kiek vidutiniškai draugų turi kiekvienas šių žmonių (matematikos brandos egzamino atgarsiai sufleruoja, kad šią operaciją visgi reiktų užrašyti):

〈d〉=	d_A+d_B+d_C+d_D+d_E	=
	5

=	2+2+2+3+1	=2
	5

Šį vidurkį galėjome suskaičiuoti ir greičiau – paveiksle matome penkis apskritimus (žmones) ir penkias juos jungiančias linijas (ryšius). Kadangi ryšys yra abipusis, tai linijų skaičių dauginame iš dviejų ir padaliname iš žmonių skaičiaus. Kitaip tariant, 5 dauginame iš 2 padaliname iš 5. Atsakymas skaičiuojant abiem būdais, žinoma, tas pats – du.

Dabar pažvelkime į pažinčių ratą kitu kampu. Kiek vidutiniškai draugų turi A, B, C, D ir E draugai? Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad esminio skirtumo tarp to, ką suskaičiavome ir to, ką norime suskaičiuoti, nėra. O, bet, tačiau…:

A turi du draugus – B ir C. Abu jie turi po du draugus. Įsimename – du savi draugai kartu sudėjus turi 4 draugus.
B irgi turi du draugus – A ir D. A turi du draugus, o D turi tris. Įsimename – du savi draugai turi 5 draugus.
C situacija tokia pati kaip ir B. Taigi, du jo draugai kartu sudėjus turi 5 draugus.
D draugauja su B, C ir E. B ir C turi po du draugus, o E turi vieną. Įsimename – 3 savi draugai turi 5 draugus.
E draugauja tik su D. Tad, jo vienintelis nuosavas draugas turi 3 draugus.

Skaičiuojame draugų draugų, d', vidurkį:

〈d'〉=	d'_A+d'_B+d'_C+d'_D+d'_E	=
	d_A+d_B+d_C+d_D+d_E
=	4+5×3+2	=2,2
	10

Matome įdomų dalyką – draugų skaičiaus, d, vidurkis yra mažesnis už vidutinį draugų draugų skaičių. Kaip taip gali būti? Esmė ta, kad skaičiuojant vidutinį draugų draugų skaičių, daug draugų turintys žmonės įskaičiuojami dažniau nei mažiau draugų turintys žmonės. Užrašykime, kaip kiekvienam atskiram žmogui skaičiuojamas jo draugų draugų skaičius:

d'_A=d_B+d_C=4, d'_B=d'_C=d_A+d_D=5,

d'_D=d_B+d_C+d_E=5, d'_E=d_D=3.

Sudėję visus draugų draugus matome, kad kiekvienas žmogus buvo įskaičiuotas tiek kartų kiek draugų jis turi:

d'_A+d'_B+d'_C+d'_D+d'_E=

=2×d_A+2×d_B+2×d_C+3×d_D+d_E=22

Taigi, galėjome skaičiuoti viską daug paprasčiau – draugų kvadratų sumą padalinti iš draugų sumos. Iš tokios formuluotės matome, kad šie vidurkiai, pagal apibrėžimą, tarpusavyje skiriasi.

Natūralu būtų pasidomėti ar šių vidurkių vertės visada skirsis. Intuicija gali pakuždėti teisingą atsakymą – yra atvejis, kai šių vidurkių vertės gali būti vienodos. Patikrinkime šią nuojautą matematiškai. Tarkime, kad N žmonių draugų draugų suma yra lygi D₂, o tų pačių N žmonių draugų suma yra lygi D₁. Pagal „uždavinio“ sąlygą ir šių pasirinktų dydžių apibrėžimą turime:

〈d'〉=〈d〉,	D₂	=	D₁	.
	D₁		N

Spręsdami lygtį, gauname įdomų tarpinį atsakymą:

=ND₂.

Toliau judėti negalime, nes nežinome kiek tiksliai kiekvienas iš N žmonių turi draugų. Tokiu atveju belieka gudriai spėti. Tarkime, visi N žmonių turi po vienodai , po d draugų. Tokiu atveju:

(ND)²=

N(ND²).

Atskliaudę abi lygties puses, gauname tokius pačius reiškinius, tad lygybė yra tenkinama visiems N ir visiems d. Telieka vaizduotėje susidėlioti draugų ratą, kuriame kiekvienas žmogus galėtų turėti po vienodai draugų. Kelis pavyzdžius pateikiame paveiksluose žemiau.

Pilnai sujungtas tinklas – visi žmonės pažįsta visus kitus žmones. Visi žmonės turi po N-1 draugų.

Žiedo formos tinklas – kiekvienas žmogus pažįsta k žmonių esančių pagal laikrodžio rodyklę prieš jį ir k žmonių esančių po jo. Visi žmonės turi po 2k draugų (šiuo atveju k=1).

Toro (trimačio žiedo) formos tinklas. Čia pavaizduotas toro formos tinklas yra sudarytas iš 9 žmonių, kurių kiekvienas turi po 4 ryšius. Šiame paveiksle punktyrinės linijos niekuo nesiskiria nuo ištisinių, toks pažymėjimas panaudotas tik dėl patogumo. Bendru atveju galima sukonstruoti didesnius tinklus, kuriuose žmonės turi kitokį draugų skaičių.

Panagrinėkime kitą paprastą problemą – kas nutinka, jei bent vienas žmogus turi vienu draugu daugiau arba mažiau. Tokiu atveju turime:

(Nd±1)²=

N([N-1]d²+[d±1]²).

Atskliaudę abi lygties puses ir perkėlę viską į vieną pusę, gauname:

N-1=0.

Vidurkiai sutaps tik ne itin įdomaus draugų rato, sudaryto iš vieno žmogaus, atveju. Taigi „draugų“ paradoksas nėra toks jau paradoksalus – visiems realiems draugų ratams toks paradokso formulavimas bus teisingas, nes žmonių bendravimas nėra toks tvarkingas.

Istorinis kontekstas

1 | 2


Verta skaityti! Verta skaityti! (29) Neverta skaityti! Neverta skaityti! (22) Reitingas (7)

Visi šio ciklo įrašai:

2017-07-31 ->	Prognozuojamas trigubas pavojingos ligos šuolis: viskas dėl populiarėjančios naujos mados ir mokslininkai nežino, ką su tuo daryti 6
2016-12-02 ->	Daugeliui skaudi tema ir tuo pačiu, netikėtas mokslo paradoksas: kodėl jūsų draugai turi vidutiniškai daugiau draugų nei jūs? (4) 7
2016-05-29 ->	„Bandos imunitetas“: kaip visuotiniai skiepai užsmaugia baisiausias pasaulio epidemijas (sumodeliuok pats) 27