Kiek π reikšmės vietų po kablelio iš tiesų reikia?

Šią savaitę gavome klausimą iš Facebook fano, kuris domėjosi, kiek matematinės konstantos pi (π) reikšmių po kablelio skaičiavimuose naudoja NASA-JPL mokslininkai ir inžinieriai:

Ar JPL skaičiavimuose naudoja pi reikšmę tik 3,14? Ar naudojate daugiau dešimtainių vietų, tarkime: 3,141592­6­5­3­5­8­9­7­9­3­2­3­8­4­6­2­6­4­3­3­8­3­2­7­9­5­0­2­8­8­4­1­9­7­1­6­9­3­9­9­3­7­5­1­0­5­8­2­0­9­7­4­9­4­4­5­9­2­3­0­7­8­1­6­4­0­6­2­8­6­2­0­8­9­9­8­6­2­8­0­3­4­8­2­5­3­4­2­1­1­7­0­6­7­9­8­2­1­4­8­0­8­6­5­1­3­2­8­2­3­0­6­6­4­7­0­9­3­8­4­4­6­0­9­5­5­0­5­8­2­2­3­1­7­2­5­3­5­9­4­0­8­1­2­8­4­8­1­1­1­7­4­5­0­2­8­4­1­0­2­7­0­1­9­3­8­5­2­1­1­0­5­5­5­9­6­4­4­6­2­2­9­4­8­9­5­4­9­3­0­3­8­1­9­6­4­4­2­8­8­1­0­9­7­5­6­6­5­9­3­3­4­4­6­1­2­8­4­7­5­6­4­8­2­3­3­7­8­6­7­8­3­1­6­5­2­7­1­2­0­1­9­0­9­1­4­5­6­4­8­5­6­6­9­2­3­4­6­0­3­4­8­6­1­0­4­5­4­3­2­6­6­4­8­2­1­3­3­9­3­6­0­7­2­6­0­2­4­9­1­4­1­2­7­3­7­2­4­5­8­7­0­0­6­6­0­6­3­1­5­5­8­8­1­7­4­8­8­1­5­2­0­9­2­0­9­6­2­8­2­9­2­5­4­0­9­1­7­1­5­3­6­4­3­6­7­8­9­2­5­9­0­3­6­0

Pateikėme šį klausimą NASA Dawn misijos direktoriui ir vyr. inžinieriui Marcui Raymanui. Štai ką jis atsakė:

Ačiū už klausimą! Tai nėra pirmas kartas, kai užduodamas toks klausimas. Tiesą sakant, šis klausimas prieš daug metų kilo ir šeštokui mokslo ir kosmoso entuziastui, kuriam vėliau pavyko užbaigti fizikos doktorantūrą ir įsitraukti į kosmoso tyrimus. Jo vardas – Marcas Raymanas.

Iš pradžių atsakysiu į klausimą tiesiogiai. Didžiausio tikslumo JPL skaičiavimuose, skirtuose tarpplanetinei navigacijai, naudojame 3,141592653589793 pi reikšmę. Dabar pažvelkime atidžiau, kad suprastume, kodėl nenaudojame dar tikslesnių reikšmių. Manau, gana aišku, kad nelabai yra fiziškai realistiškų skaičiavimų, kuriems reikėtų tiek daug vietų po kablelio, kiek pateikėte. Panagrinėkime šiuos pavyzdžius:

1. Toliausiai nuo Žemės esantis erdvėlaivis yra Voyager 1. Jis nutolęs nuo mūsų per 20,1 milijardų kilometrų. Tarkime, yra apskritimas, kurio spindulys yra būtent toks (arba 40,2 milijardų kilometrų skersmens) ir mes norime apskaičiuoti jo perimetrą, kuris lygus skersmeniui, padaugintam iš pi. Naudojant iki 15 vietų po kablelio suapvalintą pi reikšmę, kurią pateikiau aukščiau, gauname beveik 126,3 milijardus kilometrų. Mums labiau rūpi ne kokia tiksliai tai reikšmė (galite padauginti, jei įdomu), bet tai, kokia gaunama paklaida, nenaudojant tikslesnės pi reikšmės. Kitaip tariant, apsiribodami 15 pi skaičiaus reikšmių po kablelio, to apskritimo perimetrą paskaičiuotume šiek tiek netiksliai. Skaičiuojant 40,2 milijardų kilometrų skersmens apskritimo reikšmę, būtų 38 milimetrų netikslumas. Pagalvokite apie tai. Turime apskritimą, kurio perimetras – daugiau nei 126 milijardų kilometrų, o šio atstumo skaičiavimuose paklaida mažesnė už jūsų mažylio piršto ilgį.
2. Galima pavyzdžių paieškoti ir arčiau namų, Žemės planetoje. Jos skersmuo per pusiaują yra 12 756 kilometrai. Tad, perimetras – 40 074 kilometrai. Tiek reikėtų nukeliauti, jei žygiuotumėte aplink pasaulį (nekreipdami dėmesio į kalvas ir klonius, tokias kliūtis, kaip pastatai ir vandenyno bangos, etc.). Tai kiek jūsų odometras nukryptų nuo tikrosios reikšmės, jei naudotumėte apribotą pi versiją, kur pateikta aukščiau? Paklaida būtų palyginama su vienos molekulės dydžiu. Aišku, yra visokiausių molekulių, ir jų dydžiai labai įvairūs, bet tikiuosi, esmę supratote. Dar galima būtų pasakyti, kad nenaudojant daugiau pi reikšmių, paklaida būtų 10 000 kartų plonesnė už plauką!
3. Panaudokime didžiausią mastelį: regimąją visatą. Jos spindulys yra apie 46 milijardus šviesmečių. O dabar atsakykime į tokį klausimą: kiek skaičiaus pi reikšmių po kablelio reikės, kad apskaičiuotume 91 milijardo šviesmečių skersmens apskritimo perimetrą tokiu tikslumu, kad paklaida nebūtų didesnė, nei vandenilio (paprasčiausio atomo) skersmenį? Pasirodo, tam reikėtų 39 ar 40 pi reikšmių po kablelio. Pagalvojus, kokia fantastiškai didelė yra visata — gerokai didesnė, nei galime suvokti ir jau tikrai daug, daug, daug didesnė, nei galime matyti savo akimis netgi tamsiausią, nuostabiausią, žvaigždžių kupiną naktį — ir tada pagalvojus, koks neįtikėtinai mažas yra vienas atomas, pasidaro aišku, kodėl bet kokio mastelio skaičiavimuose mums nereikia naudoti daugiau pi reikšmės skaitmenų.

Marc Rayman
NASA/JPL Edu