Begalybės beždžionių teorema ir kiti gyvenimiškosios matematikos užkampiai

Prancūzų matematikas Emilis Borelis (Émile Borel) 1913 m. prestižiniame žurnale „Journal de Physique Theorique et Appliquee“ publikavo nedidelės apimties esė, pavadinimu „Statistinė mechanika ir negrįžtamumas“. Būtent šį esė drąsiai galima laikyti pirmuoju moksliniu darbu apie literatūrinius beždžionių sugebėjimus, nors nei primatai, nei meniniai tekstai joje neminimi. Žinoma, E. Borelis rašė apie tam tikrus abstrakčius atsitiktinių raidžių sekos generatorius, kurie per begalinę laiko atkarpą neišvengiamai išspausdins bet kurį bet kurioje pasaulio bibliotekoje esantį tekstą. Tačiau ši idėja visame pasaulyje išgarsėjo kiek kitokiu pavidalu. Fizikų Arturo Edingtono (Arthur Eddington) ir Džeimso Džinso (James Jeans), rašytojo Chorchės Luiso Borcheso (Jorge Luis Borges) ir daugelių jų pasekėjų dėka, dabar ši idėja skamba taip: jei būtų galimybė begalybę beždžionių pasodinti prie nesulaužomų spausdinimo mašinėlių, anksčiau ar vėliau jos išspausdintų bet kokį užduotą tekstą – pavyzdžiui, Viljamo Šekspyro „Hamletą“. Simbolinio garsiosios begalybės beždžionių teoremos šimtmečio proga, Steklovo matematikos instituto (Rusija) darbuotojas Nikolajus Andrejevas parinko užduočių ir teoremų, kurios savo nuotaikingais humoro štrichais papuošia tokio nepaprastai rimto mokslo kaip matematika portretą.

Teoremos iš šaldytuvo

Matematikai – irgi žmonės. Jie irgi pietauja, todėl pora teoremų bus susijusios su apetitu. Pavyzdžiui, akivaizdu, kad bet kurį matematiką, kuriam yra tekę su kitu matematiku dalintis sumuštinį, sudomins klausimas: ar visada įmanoma vienu pjūviu sumuštinį padalinti į dvi lygas dalis? Į šį klausimą užtikrintą atsakymą pateikia sumuštinio su kumpiu teorema: bet kurį N objektų skaičių N-išmatavimų erdvėje galima padalinti lygiai perpus pagal vieną (N-1)-ąją hiperplokštumą. Jei matematikas dažnai mėgsta skanauti italų kulinarijos paveldo patiekalus, jam turbūt bus girdėta picos teorema: jei apvalią picą vienodais kampais pjaustytume į 8, 12, 16, 20 ir t. t. gabalėlių, visus pjūvius atlikdami per vieną laisvai pasirinktą tašką, tai tų nelyginių gabalėlių plotų suma būtų lygi lyginių gabalėlių plotų sumai. Beje, tas laisvai pasirenkamas taškas gali būti nebūtinai picos centre: gabalėlių plotas tada bus skirtingas, bet ją vis tiek bus galima po lygiai padalinti dviem matematikų komandoms.

Ežio šukavimo teorema

Nors anglakalbiai matematikai šią teoremą vadinama „hairy ball theorem“ (plaukuoto kamuolio teorema), jos esmė kūrybingiau išvertus pavadinimą nesikeičia: ant sferos neegzistuoja nepertraukiamo liestinio vektorinio lauko, kuris niekur nevirsta nuliu.

Tikrovėje tai reiškia, kad jei paimtumėte į kamuolį susirietusį ežį (arba plaukuotą kamuolį), sušukuoti jį taip, kad jis niekur nedurtų, nepavyks: kažkur vis tiek susidarys skristukas arba kuodas. Įdomu, jog iš tos pačios teoremos seka, kad jei kažkur Žemėje pučia vėjas, reiškia, tuo pat metu Žemėje kažkur yra taškas, kur to vėjo visai nėra.

Kampuoti pinigai

Sovietų laikų rusų matematikas Vladimiras Arnoldas 1956 m. sugalvojo užduotį, kurią, galimas daiktas, jam pasufleravo gyvenimiškos aplinkybės: ar galima stačiakampį popieriaus lapą sulankstyti į plokščią daugiakampį taip, kad jo perimetras būtų didesnis už pradinį stačiakampio lapo perimetrą? Tarybinis rublis anuomet buvo ir popierinis, tad toje užduotyje lankstydavo ir glamžydavo būtent jį, nors vakaruose ta pati užduotis žinoma Margulio servetėlės pavadinimu (mokslininko Grigorijaus Margulio garbei).

Popierinio sovietinio rublio nebeliko, o užduoties apie suglamžytą rublį taip niekas ir neišsprendė, nors jos ėmėsi ir matematikai, ir origami entuziastai. Griežto šio uždavinio sprendimo sulaukta tik šiame šimtmetyje, o išvada tokia: teoriškai rublį taip sulankstyti galima, bet praktiškai tiek sykių perlenkti net ir ploniausią popieriaus lapą tiesiog nepavyks.

Teorema apie du policininkus

Šiam uždaviniui labiau tiktų lemos pavadinimas – kaip „pagalbinės“ teoremos, kuri ne kiek pati prasminga, kiek padeda įrodyti kitus teiginius. Kodėl jos pavadinime reikia policininkų, žino bet kuris, kam teko krimsti matematikos analizės pagrindus.

Tarkim, turime matematinę funkciją, kuri tarsi „įsprausta“ tarp dviejų kitų funkcijų. Kitaip tariant, visos jos reikšmės ne didesnės už vienos funkcijos reikšmes ir ne mažesnės už kitos funkcijos reikšmes. Jei abi „kraštinės“ funkcijos toje srityje turi vienodą ribą, tai tokią pat ribą turi ir vidurinioji funkcija.

Kitaip tariant, jei du policininkai laiko už rankų suimtą nusikaltėlį ir jį veda į kamerą, tai nusikaltėlis irgi eina į kamerą. Įdomu tai, kad teisėsauginė šios lemos analogija, matyt, pasirodė tokia suprantama, jog ir kitose kalbose ši teorema vadinama žandarų, milicininkų, sargybinių ir t. t. teorema.

Matematika ir asmeninis gyvenimas

Jau minėjome, kad matematikai – irgi žmonės. Todėl dar viena ne mažiau gyvenimiška matematinė užduotis susijusi su gyvenimo partnerės (partnerio) pasirinkimu. Tarkim, nuotaka nori išsirinkti geriausiąjį iš N pretendentų į jos širdį ir ranką, bet pasimatymuose kavalierių dama gali vertinti tik atsitiktine tvarka, tik po vieną ir tik vieną kartą, o savo verdiktą – sutinku arba ne – paskelbti išsyk pasibaigus pasimatymui. Kaip tokioje sekoje išsirinkti geriausią jaunikį ir nelikti senmerge?

Maskvos valstybinio universiteto matematikos profesorius Sabiras Huseinas-Zade rašo, kad iš, regis, paprastutės užduotėlės apie išrankią nuotaką, kurią praėjusio amžiaus viduryje sugalvojo Martinas Gardneris (Martin Gardner), išaugo atskira matematikos sritis – optimalaus atsitiktinių procesų sustabdymo teorija. Paprasčiausiu formulavimo pavidalu šį uždavinį dar 1963 m. išsprendė matematikas Jevgenijus Dynkinas, o su šios užduoties apibendrinimais susijusiomis problemomis mokslo karjeros metais domėjosi Borisas Berezovskis.

Grubi matematinė jėga

Tokią galėjo patirti praktiškai bet kuris skaitytojas, nors sykį gyvenime pirkęs naujus baldus arba kraustęsis į naują gyvenamąją vietą. Tarkim, jums pasitaikė koridorius, kurio sutartinis pastovus plotis lygus 1 ir kuris turi stataus kampo posūkį. Jums reikia į šio koridoriaus gale esantį kambarį nunešti kuo didesnio ploto sofą. Koks tas plotas?

Sofos nešimo užduotis, kurią 1966 m. suformulavo kanadiečių matematikas Leo Mozeris (Leo Moser), bendrąja prasme taip ir lieka neišspręsta, nes rasti tikslią maksimalaus ploto reikšmę – „sofos konstantą“ – kol kas dar niekam taip ir nepavyko. Gana didelę sofą, kurios sutartinis plotas maždaug 2,2, savo forma primenantis telefono ragelį, pasiūlė britas Džonas Hemerslis (John Hammersley), bet vėliau jo kolegos pademonstravo, kad ir tai ne riba.

Kitos užduotys

Dar viena giliai praktinė uždavinių kategorija yra žinoma bet kuriam turistui. Jei turite tam tikro svorio kuprinę ir daiktų rinkinį, kur kiekvienas daiktas turi tam tikrą svorį ir vertę, kaip tuos daiktus surinkti taip, kad bendra jų vertė būtų maksimali?

Kad būtų galima išspręsti šią užduotį, rasti arba labai tikslūs algoritmai, kurie didesnių kuprinių atvejų virsta abstrakčiais košmarų rinkiniais, arba artimi algoritmai – veikiantys greitai, bet nepateikiantys optimalaus sprendimo.

Galų gale, jei pažįstamas matematikas paprašys jūsų padėti jam iš bibliotekos ligi namų parsinešti „paprastųjų baigtinių grupių klasifikavimo teoremos“ įrodymą, nesutikite, nes prašymas – klastingas: kitas šios teoremos pavadinimas – Milžiniškoji arba Gigantiškoji teorema. Mat jos įrodymas užima apie 15 tūkst. puslapių.