Reliatyvumo teorijos įvadas. Kas yra metrika?

Žodis „metrika“ turi ir nefizikinę reikšmę: tai yra metraštis ar panašus dokumentas, kuriame surašyti įvairūs svarbūs įvykiai. Kažkiek panaši ir matematinio koncepto reikšmė – metrika yra svarbaus dalyko aprašymas. Tas svarbus dalykas – erdvėlaikio struktūra. Na, o erdvėlaikis yra erdvę ir laiką apjungiantis darinys, tarsi fonas, kuriame vyksta visi kiti dalykai (bet, priešingai nei daugelis fonų, jis nėra statiškas ir reaguoja į jame esančius dalykus; bet apie tai – kurį kitą kartą). Taigi, trumpai tariant, metrika yra erdvėlaikio struktūros aprašymas.

Ką reikia aprašinėti ir kaip galima aprašyti erdvėlaikio struktūrą? Kaip minėjau, erdvėlaikis apjungia erdvę ir laiką. Erdvė turi tris matmenis, pavyzdžiui ilgį, plotį ir aukštį, arba nuotolį ir dvi kryptis, laikas – vieną, taigi erdvėlaikio matmenų yra keturi. Būtent šių keturių matmenų tarpusavio ryšį metrika ir aprašo. Yra keletas galimų metrikos išreiškimo būdų, bet vienas, dažnai paprasčiausias, iš jų yra vadinamas „linijos elementu“ (angl. line element) ir nusako atstumą tarp dviejų erdvėlaikio įvykių.

Kad suprastume, koks yra tas atstumas, pirma pabandykime jo aprašymą įsivaizduoti mums įprastoje trimatėje erdvėje. Tarkime, turime kažkokį objektą, arba įvykį, kuris yra (arba įvyksta) taške A. Taško A padėtį erdvėje paprastumo dėlei pažymime koordinatėmis {0,0,0}; kiekvienas skaičius žymi koordinatę kiekvienoje iš trijų dimensijų. Dabar paimkime kitą daiktą arba įvykį taške B, kurio koordinatės yra {x,y,z}; jei jums paprasčiau, vietoje raidžių įsirašykite bet kokius skaičius. Koks atstumas tarp taškų A ir B? Jį suskaičiuoti mums padeda Pitagoro teorema, kuri duoda atsakymą l=√x²+y²+z². Bendru atveju galime įsivaizduoti, kad atstumas susideda iš daugybės mažyčių žingsnelių, kurių kiekvienas gali būti įvardijamas kaip poslinkis dl – čia raidė d nurodo, kad kalbame apie labai mažą dydį. Poslinkis apskaičiuojamas kaip dl=√dx²+dy²+dz². Ši formulė ir yra linijos elementas mums įprastoje trijų erdvės matmenų, arba Euklido, geometrijoje.

Euklidinėje erdvėje visada galime išmatuoti atstumą tarp taškų „dabar“, nes laikas joje yra atskirtas nuo erdvės ir visiems stebėtojams teka vienodai. Tai kartu reiškia, kad bet koks apsikeitimas informacija gali vykti begaliniu greičiu. Realybėje, deja, yra ne taip – informacijos perdavimo greitį riboja šviesos greitis, lygus 299 792 458 m/s ir žymimas raide c (trumpas lyrinis nukrypimas – ši šviesos greičio vertė yra tiksli, nes ji naudojama metro apibrėžimui). Taigi objektų savybių „dabar“ išmatuoti nebegalime, nes kol informacija apie vieno taško padėtį pasieks kitą tašką, bus praėjęs tam tikras laiko tarpas. Be to, jei du stebėtojai juda skirtingais greičiais arba yra skirtingo stiprumo gravitaciniame lauke (pvz. vienas ant Žemės, o kitas orbitoje aplink ją), skiriasi jų patiriamos laiko tėkmės sparta. Taigi į erdvėlaikio struktūros aprašymą reikia įtraukti ir laiko tėkmę.

Tokia metrika sukurta (atrasta?) netrukus po specialiosios reliatyvumo teorijos paskelbimo 1905 metais. Prancūzų matematikas Henry Poincaré bei, kiek vėliau, vokietis (gimęs Aleksote prie Kauno) Hermannas Minkowskis nustatė, kad specialiosios reliatyvumo teorijos teiginius atitinka metrika, kurios linijos elementas užrašomas šitaip: ds²=c²dt²−dx²−dy²−dz²; trumpiau ją galima užrašyti kaip ds²=c²dt²−dl², kur l žymi anksčiau aptartą atstumą trimatėje erdvėje. Pagrindinė ir svarbiausia šios metrikos savybė – nesvarbu, kaip ją pasuksime visuose keturiuose matmenyse, šviesos greitis išliks toks pat. Pasukimas keturiuose matmenyse reiškia ne tik pasižiūrėjimą kita kryptimi (tai būtų pasisukimas erdvėje), bet ir skirtingą judėjimo greitį (pasisukimas erdvės-laiko ašyje). Tai, kad šviesos greitis yra vienodas nepriklausomai nuo atskaitos sistemos, nustatyta dar XIX amžiuje. Įvairūs fizikai XIX a. pabaigoje bandė šį reiškinį aprašyti matematiškai. Buvo suvokta, jog vienintelis būdas paaiškinti tokią šviesos savybę – pripažinti, jog judant skirtingu greičiu, pasikeičia objektų dydžiai ir laiko tėkmės sparta. Olandų fizikas Hendrikas Lorentzas išvedė koordinačių (erdvės bei laiko matmenų) transformacijų rinkinį, kuris aprašo, kaip šie dydžiai pasikeičia priklausomai nuo judėjimo greičio. Poincaré ir Minkowskis parodė, kad šios transformacijos yra būtent Minkovskio metrikos posūkiai.

Minkovskio metrika naudinga ne tik tuo, kad susistemina Lorentzo transformacijas. Ji taip pat matematiškai išreiškia šviesos greitį kaip signalų perdavimo greičio ribą. Kad tą suprastume, panagrinėkime, kokias vertes gali įgyti atstumas ds. Jei c²dt²>dl², tada ds yra realus dydis. Jei c²dt²=dl², tai atstumas tampa lygus nuliui. Ir trečiu atveju, jei c²dt²<dl², atstumas tampa menamas dydis, nes jo kvadratas ds²<0. Būdami bet kokiame erdvėlaikio taške, visą likusį erdvėlaikį galime sudalinti į tris zonas pagal šias atstumo vertes. Linijos erdvėlaikyje, kurių ds²>0, vadinamos „laikinėmis“ (angl. time-like), turinčios ds²=0 – „šviesinėmis“ (angl. light-like), o ds²<0 – erdvinėmis (angl. space-like). Perduodami signalą šviesos greičiu, mes galime pasiekti visus taškus, esančius šviesiniu atstumu nuo mūsų; pasiekti laikiniu atstumu esančius taškus užtenka greičio, mažesnio nei šviesos, o erdviniu atstumu nutolusių taškų pasiekti negalėsime niekaip.

Svarbu nepamiršti, kad kalbame apie erdvėlaikio, o ne erdvės taškus, t. y. šie taškai turi ir laiko koordinatę. Pavyzdžiui, jeigu „dabar“ Kentauro Alfoje įvyksta sprogimas, informacija apie jį mus pasieks tik po kiek daugiau nei ketverių metų – šviesiniu atstumu sujungtų taškų „Žemė“ ir „Kentauro Alfa“ laiko koordinatė skiriasi maždaug tiek. Atstumas tarp taškų, kurių laiko koordinatė skiriasi mažiau, yra erdvinis – iš vieno į kitą signalas nukeliauti negali.

Taškai, nutolę vienas nuo kito laikiniu atstumu, yra vadinami „priežastingai susietais“ (angl. causally connected). Tai reiškia, kad viename iš taškų – tame, kurio laiko koordinatė mažesnė – įvykęs įvykis gali paveikti kitame iš taškų vykstantį įvykį. Šis ryšys dar įvardinamas taip, kad pirmasis taškas yra antrojo praeityje, o antrasis – pirmojo ateityje. Taigi kiekvienam taškui galime pažymėti ateities regioną (visi taškai, nutolę laikiniais atstumais, kurių laiko koordinatė yra didesnė), praeities regioną (atstumas – laikinis, laiko koordinatė mažesnė), ir regioną „kitur“ (erdvinis atstumas). Šviesinis atstumas yra riba tarp šių sričių. Atkreipkite dėmesį, kad nors ateitis ir praeitis egzistuoja, dabarties šiame erdvėlaikyje nėra. Taip yra todėl, kad judant skirtingu greičiu, „dabarties“ linija pasislenka. Pavyzdžiui, mums esant Žemėje atrodo, kad „dabar“ Kentauro Alfoje vyksta tie dalykai, kurių laiko koordinatė yra 4,3 metų mažesnė. Jei judėtume dideliu greičiu Kentauro Alfos kryptimi arba tolyn nuo jos, mums atrodytų, kad atstumas tarp Žemės ir žvaigždės sumažėja, taigi sumažėja ir laiko tarpas, kurį tarp jų sklinda šviesa, todėl „dabar“, net ir esant labai arti Žemės, pasidarytų mažesnė praeitis (bet mažesnė tik toje, judančioje, atskaitos sistemoje).

Minkovskio metrika yra skirta specialiajai reliatyvumo teorijai, kurioje kalbama tik apie objektų judėjimą, bet ne juos veikiančias jėgas. Bendroji reliatyvumo teorija įtraukia ir gravitaciją. Pagal labai šiai teorijai svarbų ekvivalentiškumo principą, laisvas kritimas gravitaciniame lauke atitinka judėjimą be jokios gravitacijos. Pradedant nuo šio ekvivalentiškumo, galima išvesti matematinę formuluotę, kuri leidžia apskaičiuoti masę turinčių objektų poveikį erdvėlaikiui.

Kai Einsteinas paskelbė bendrosios reliatyvumo teorijos matematinę formuluotę 1915 metais, Europoje siautė karas. Rytų fronte tarnavęs artilerijos leitenantas, vokietis Karlas Scwarzschildas, gavo Einsteino straipsnio kopiją ir ėmė ją nagrinėti. Tuo metu jis jau buvo nemažai pasiekęs fizikas ir sugebėjo išspręsti reliatyvistines lygtis vienam idealizuotam atvejui: jis apskaičiavo, kaip išsikreipia erdvėlaikis vakuume aplink sferiškai simetrišką masės telkinį. Šis sprendinys jo garbei vadinamas Švarcšildo metrika, ir atrodo šitaip:

ds²=(1−r_s/r)c²dt²−(1−r_s/r)⁻¹dr²−r²(dθ²+sin²θdϕ²). Dešinioji lygybės pusė čia irgi susideda iš laiko ir erdvės dedamųjų, tik atstumas erdvėje išreiškiamas ne per koordinates {x,y,z}, bet per sferines koordinates {r,θ,ϕ}, kur r yra atstumas nuo koordinačių pradžios taško, θ – platumos kampas, o ϕ – ilgumos. Toks koordinačių pakeitimas leido Schwarzschildui atrasti šį sprendinį, kurio Einsteinas sugalvoti nesugebėjo, tačiau iš šiaip koordinačių sistema turi įtakos tik sistemos aprašymui, bet ne jos evoliucijai. Esminis skirtumas nuo Minkovskio metrikos čia yra daugiklis (1−r_s/r), atsirandantis prie laiko ir nuotolio dedamųjų. Jis nurodo, kiek susitraukia erdvė ir išsitempia laikas dėl kūno gravitacijos. Parametras r_s=2GM/c², kur G yra gravitacijos konstanta, o M – nagrinėjamo kūno masė, vadinamas Švarcšildo spinduliu. Mokslininkai netrukus pastebėjo, kad jei kūno spindulys yra lygus r_s ar mažesnis, ties šiuo spinduliu atstumas tarp dviejų erdvėlaikio taškų tampa begalinis, o arčiau koordinačių pradžios už Švarcšildo spindulį erdvė ir laikas tarsi susikeičia vietomis. Kelis dešimtmečius tokia metrikos savybė buvo laikoma tik matematine keistenybe, neturinčia fizikinės prasmės, bet vėliau paaiškėjo, kad masyvios žvaigždės gyvenimo pabaigoje gali susitraukti į tokius tankius objektus, dabar vadinamus juodosiomis skylėmis.

Laikui bėgant, buvo atrasta vis daugiau bendrosios reliatyvumo teorijos lygčių sprendinių – kitokių gravitacijos veikiamo erdvėlaikio metrikų. Jos visos atitiko vienaip ar kitaip idealizuotas sistemas, nes bendram atvejui sprendinio rasti nėra įmanoma. Viena iš svarbiausių tokių metrikų vadinama net keturių daugmaž nepriklausomai ją atradusių mokslininkų pavardėmis: Aleksandro Fridmano, Georges Lemaître`o, Howardo Robertsono ir Arthuro Geoffrey`io Walkerio, arba trumpiau FLRW. Ji aprašo erdvėlaikį, kuriame medžiaga pasklidusi visur ir visomis kryptimis tolygiai: ds²=c²dt²−a(t)²dl²*, kur l yra atstumas trimatėje erdvėje. Nuo Minkovskio metrikos ši skiriasi tik tuo, kad erdvinė dalis yra padauginta iš koeficiento a(t), vadinamo mastelio faktoriumi. Tai yra nuo laiko priklausanti funkcija, kurios tikslią formą apibrėžia sistemos sandara – iš dulkių sudaryta sistema evoliucionuoja vienaip, iš dujų – kitaip, tamsioji energija ją veikia dar kitaip, ir taip toliau.

FLRW metrikoje, kaip ir Minkovskio, galioja šviesos greičio riba – objektai negali judėti greičiau už ją. Taip pat galime atskirti tris atstumų tipus – erdvinį, laikinį bei šviesinį, taip pat galime nurodyti ateities ir praeities, bet ne dabarties regionus. Bet – ir tai yra labai svarbu – visi šie regionai laikui bėgant keičiasi. Keičiasi todėl, kad kinta pačios erdvės mastelis, aprašomas mastelio faktoriumi a(t). O štai šio faktoriaus joks šviesos greitis neriboja. Jis pats netgi neturi greičio dimensijos – tai yra bedimensinis dydis, kaip 2, 15 ar π. Erdvės plėtimasis vyksta taip, kad padidėja atstumas tarp bet kurių dviejų erdvės taškų, ir padidėja jis proporcingai jau esamam atstumui. Ne veltui toks plėtimasis yra lyginamas su baliono pūtimu ar mielinės tešlos kilimu. Stebėtojas, esantis viename iš taškų, matys visus kitus taškus tolstant nuo jo, o tolimo greitis gali lengvai viršyti šviesos greitį. Bet tai reliatyvumo teorijai neprieštarauja – priešingai, ši erdvės savybė seka iš reliatyvumo teorijos lygčių.

Galvojant apie erdvės plėtimąsi, svarbu nepamiršti, kad FLRW metrika galioja tik idealizuotoje visatoje, kurioje medžiaga pasiskirsčiusi idealiai tolygiai. Mūsų Visata į tokią idealizuotą versiją panaši tik labai dideliais masteliais, taigi ir erdvės plėtimasis vyksta tik dideliais masteliais. Galaktikų spiečiai, surišti gravitacijos, erdvėlaikį iškreipia panašiau į Švarcšildo metriką, todėl jų erdvė nesiplečia. Taigi nereikia bijoti – galaktikos, esančios aplink mus, ir visi mažesni objektai dėl erdvės plėtimosi į šalis neišsilakstys.

* – FLRW metrikoje yra dar vienas daugiklis, susijęs su galimu erdvės kreivumu dideliais masteliais, bet dabartiniai stebėjimai rodo, kad erdvė greičiausiai nėra iškreipta, taigi tas daugiklis pranyksta ir jo čia neįrašiau.