Norite milijono dolerių? Paaiškinkite, kaip raitosi cigaretės dūmai

Viena iš septynių „Tūkstantmečio prizo“, įsteigto Clay'aus matematikos instituto (JAV), užduočių yra Navier-Stokes lygtys. Kiekviena iš šių užduočių, kurios vadinamos pačiais svarbiausiais neatsakytais matematiniais klausimais, yra įvertinta milijonu dolerių.

Navier-Stokes lygtys – tai tarsi Niutono antrojo dėsnio ekvivalentas skysčiams. Antrasis Niutono dėsnis nusako, kaip kinta objektų greitis kuomet jie yra veikiami jėgos. Panašiai ir Navier-Stokes lygtys yra diferencialinių lygčių rinkinys, aprašantis, kaip skysčio tėkmės greitis pasikeis dėl skysčio vidinių savybių (slėgio, takumo) ir išorinio poveikio (pvz., skystį veikiančios gravitacijos).

Taigi, šios lygtys yra skysčių judėjimo aprašymo pagrindas. Tai yra ir pagrindinis modelis, aprašantis, kaip juda oras aplink lėktuvo sparnus, kaip vanduo teka vamzdžiais, kaip nuo ugnies kyla dūmas.

Diferencialinės lygtys

Diferencialinės lygtys nusako, kaip bėgant laikui ir vietai keičiasi kiekis. Esama daug realių procesų – pavyzdžiui, Navier-Stokes lygtimis aprašytas vandens judėjimas – kuriuose matematiškai nesudėtinga nusakyti kiekio kitimo greitį, tačiau paties kiekio nusakymas būna ne toks paprastas.

Sprendžiant diferencialines lygtis reikia pradėti nuo lygties, nusakančios, kaip modeliuojamas dydis kinta laike ir erdvėje ir tam tikrų pradinių sąlygų sistemos būsenai modeliavimo pradžioje nusakyti. Pagal tai gaunama lygtis kiekiui apskaičiuoti bet kurioje vietoje, bet kuriuo metu.

Daugelį realių fizikinių sistemų matematiškai galima aprašyti santykinai nesudėtingai, paprastomis diferencialinėmis lygtimis. Pavyzdžiui, taip galima aprašyti gitaros stygų virpėjimą ar nuo orkaitės spinduliuojančią kaitrą. Tokiais atvejais diferencialinių lygčių modeliai yra žinomi. Bet esama ir sudėtingesnių diferencialinių lygčių, kaip kad Navier-Stokes rinkinys – o matematikai iki šiol nežino bendro šių lygčių sprendinio.

O dar blogiau yra tai, kad netgi nežinoma, ar Navier-Stokes lygčių sprendinys visoms galimoms pradinėms sąlygoms egzistuoja apskritai. Tikėtina, kad neįmanoma būtų sužinoti pradinių sąlygų modeliuojant kokio nors skysčio „startinę poziciją“, jei po baigtinio laikotarpio veikimo „pagal taisykles“ (t. y., lygtis), tas skystis „išsprogsta“, arba pasiekia tokį erdvės tašką, kuriame skystis juda vis greičiau ir greičiau, kol tas greitis tampa begaliniu.

Tai už ką milijonas?

Štai jums milijono vertės užduotis: arba atraskite būdą išspręsti lygtis esant bet kokiam pradinių sąlygų rinkiniui (ir tokiu būdu sukurkite būdą tiksliai modeliuoti bet kokį matematiškai idealizuotą skystį), arba sukonstruokite kokį nors sąlygų rinkinį, pagal kurį skysčio elgsena ilgainiui taptų be galo turbulentiška.

Esama ir fizikinių, ir matematinių priežasčių, dėl kurių Navier-Stokes lygčių išsprendimas yra tokio sudėtingumo darbelis, kad už jį būtų verta sumokėti visą milijoną.

Vertinant iš fizikinės pusės, skysčiai yra problematiški, nes jie elgiasi chaotiškai ir juda turbulentiškai. Tą patį galima matyti, tarkime, kylant dūmams nuo cigaretės ar žvakės – iš pradžių atrodo, kad jie kyla sklandžiai, tiesia linija, bet kažkuriuo metu pradeda sudėtingai ir neprognozuojamai suktis. Tokio chaotiško elgesio modeliavimas yra be galo sudėtingas.

Kalifornijos universiteto Los Andžele (JAV) matematikas, 2006 m. Fieldso medalio laureatas Terence'as Tao savo tinklaraštyje parašė straipsnį apie matematinius Navier-Stokes lygčių sprendimo sunkumus. Tokio tipo diferencialinių lygčių sprendimas dažnai yra susijęs su kokios nors sistemos didelio masto kiekybiškai įvertinamos savybės modeliavimu, kuriuo remiantis būtų galima tą savybę kontroliuoti, apriboti sistemos chaotiškumą.

Deja, skysčių dinamikoje, tokiose situacijose, kurias aprašo Navier-Stokes lygtys, nėra tokių stambaus mąsto savybių, kurios būtų tinkamos smulkaus masto chaotiškos elgsenos kontrolei. Vieninteliai sistemos dydžiai, kuriuos galime kontroliuoti, yra judančio skysčio bendra kinetinė energija ir energijos kiekis, prarandamas dėl vidinės trinties skystyje. Bėda ta, kad tai mums nesuteikia jokios informacijos apie tai, kaip energija pasiskirsčiusi skystyje.

Jeigu Navier-Stokes lygtys kada nors bus išspręstos, tuomet arba bus atrasta kokia nors iki šiol nepastebėta kiekybinė savybė, kuri galėtų kontroliuoti chaotišką skysčių judėjimą mažu masteliu, arba bus sukurtas visiškai naujas matematinis diferencialinių lygčių sprendimo būdas.

Kas gali nepavykti

Gali būti, kad matematikai vietoje bendro lygčių rinkinio sprendimo aptiks tokias pradines sistemos sąlygas, dėl kurių sistemos energija vis labiau koncentruotųsi vis mažesnėje erdvėje. Ilgainiui, anot lygties, energija viename konkrečiame taške taptų begaline. Toks pavyzdys būtų įrodymas, kad bent kai kuriais (veikiausiai labai keistais) atvejais lygtys negali būti išspręstos.

Kiek naujesniame tinklaraščio įraše (ir mokslinio darbo juodraštiniame variante) T. Tao sukonstravo diferencialinių lygčių rinkinį, kuris elgiasi tarsi „suvidurkintos“ Navier-Stokes lygtys bei pateikia gudrų labai abstrakčių „skysčių mašinų“ modelį, kažkiek panašų į elektroninius kompiuterius, pagamintus iš elektroninių komponentų.

Tokia T. Tao matematinė konstrukcija vis greitėjančiai gamina mažėjančias savo kopijas, kol laikas tarp reprodukcijų tampa nuliniu ir sukeliama sistemos griūtis – jei toks įrodymas tiks ir tikroms Navier-Stokes lygtims, tuomet būtų įrodytas užduoties „neigiamas sprendinys“, parodantis, kad kai kuriais atvejais šios lygtis gali būti neišsprendžiamos.

Verta pažymėti, kad T. Tao sistema yra gryniausia matematinė abstrakcija. Bet kokia tokio tipo „mašina“ turėtų būti sukurta iš matematiškai idealaus skysčio. Tikrieji fizikiniai skysčiai yra iš atomų ir molekulių, o realiame pasaulyje nieko panašaus į T. Tao konstrukciją tikriausiai nebūtų įmanoma sukurti.

Kaip bebūtų, šio matematiko darbas yra svarbi detalė Navier-Stokes lygčių sprendime. Jo „suvidurkinta“ lygčių versija turi daug panašumų su tikrosiomis lygtimis. Bet svarbiausia tai, kad „suvidurkintos“ lygtis turi iš esmės tuos pačius didelio masto energijos apribojimus, kaip it tikrosios lygtys. T. Tao pažymi, kad tai reiškia, jog vien naudojantis jo konstrukcija nebus įmanoma surasti Navier-Stokes tikrųjų lygčių sprendinio ir kad bet kokiam sprendiniui reikės pritaikyti kažkokias kitas vingrybes.