Neapibrėžtas dėsnis, galintis sugriauti matematinės visatos idėją

Kas sieja smėlio krūvą, debesies pakraštį ir aktoriaus Patricko Stewarto plikę? Jei tik neryškiai nujaučiate, kur lenkiu, tai einate tinkama kryptimi: visa tai yra mūsų pasaulio apibūdinimo neapibrėžtumo pavyzdžiai. Kiek smiltelių galima paimti iš krūvos, kad ji vis dar būtų krūva? Kurioje vietoje baigiasi debesis ir prasideda dangus? Kiek ir kokio ilgio plaukų privalo turėti Patrickas Stewartas, kad nebebūtų laikomas praplikusiu? Tai pasakyti sunku – gal net neįmanoma.

Tokių neapibrėžtų, išskydusių ribų koncepcijų aplinkui pilna. Lig šiol buvome linkę manyti, kad jie atstovauja mūsų žinių netobulumą, mūsų komunikavimo būdą ar apibūdinimų veiksenas. Tam tikrame lygyje manome, kad pasaulis privalo būti tiksliai apibrėžtas. Galų gale, jo veikimas paremtas fizikos dėsniais, kurie išreiškiami jokio neapibrėžtumo nepripažįstančiomis matematinėmis lygtimis.

Nesu tikras, kad taip yra iš tiesų. Manau atradęs fundamentalų fizikos dėsnį, kuris pats yra neapibrėžtas. Tai gali turėti toli siekiančių pasekmių, gal net sukelti abejones įprastinės matematikos gebėjimu suteikti išsamų visatos aprašymą – bet tuo pat gali atverti visai naujas perspektyvas dar geresniems fizikos teorijoms.

Tokie filosofai kaip aš praleido daug laiko, mąstydami apie tokius neapibrėžtus terminus, kaip „praplikęs“ ir „krūva“. Krūvos paradoksas buvo pastebėtas dar IV amžiuje prieš mūsų erą. Jei milijonas smiltelių yra krūva, o paėmus vieną smiltelę, tai vis viena būtų krūva, paėmus dvi irgi būtų krūva. Vadovaujantis tokia logika, viena smiltelė irgi yra krūva. Tai jau absurdas. Taigi, reikėtų sutarti, kad yra kažkokia griežta riba, konkretus smilčių skaičius, kuris dar nėra krūva? Tai irgi skamba neįtikinamai.

Neapibrėžtumo natūralioje kalboje pilna, tačiau jis atsispiria loginiam analizavimui. Neapibrėžti terminai nepaklūsta esminiam klasikinės logikos principui – bet kuris teiginys yra arba teisingas, arba klaidingas. Įsivaizduokime Tomą, kuris yra ribinis „praplikimo“ atvejis. Nėra tiesa, kad Tomas praplikęs. Nėra ir netiesa, kad Tomas praplikęs. Pavojus klasikinei dvejetainei logikai.

Kur baigiasi debesis ir prasideda dangus? Neapibrėžtumas gali būti fundamentali visatos savybė

Filosofija išskiria tris neapibrėžtumus. Pirmiausias – semantinis neaiškumas. Tai tiesiog mūsų komunikavimo savybė. Gal kai kurie mūsų naudojami žodžiai yra taip negriežtai apibrėžti, kad bandant jais kažką teigti, teiginiai lieka it pakibę ore, nei aiškiai taip, nei aiškiai ne.

Antras neapibrėžtumas gali kilti iš to, kad kai kurių faktų tiesiog nežinome. Nors gal neaišku, kur reikėtų nubrėžti tikslią ribą tarp praplikimo ir nepraplikimo, ar tarp krūvos ir nekrūvos, gali būti, kad egzistuoja kokia nors objektyvi riba, apie kurią nežinome. Tai – vadinamasis episteminis neapibrėžtumas, gražiai išsaugantis klasikinę dvireikšmę logiką, nes yra teisingas ar klaidingas atsakymas į bet kokį teiginį, net jeigu nežinome, kuris.

Trečia, neapibrėžtumas gali kilti iš fundamentalaus, įgimto, visatos nedeterminuotumo. Tai vadinamasis ontologinis neapibrėžtumas. Kai kuriuos objektus apibrėžiame natūralia kalba, tarkime, debesį ar Everesto kalną, paprasčiausiai neturinčius tikslių laiko ar erdvės matmenų.

Nors galima ginčytis, koks neapibrėžtumo tipas vienu ar kitu atveju veikia, daugelis filosofų sutaria, kad su fundamentaliais gamtos dėsniais tai mažai ką turi bendro. Neapibrėžtumas taip gali rastis kai kuriuose aukšto lygio moksluose, tokiuose, kaip biologija, kur tokie terminai kaip „ląstelė“, „organizmas“ ir „gyvybė“ nėra tiksliai apibrėžti – dabar mus kamuojantis virusas priklauso būtent tokiems klasikiniams ribiniams gyvų organizmų atvejams, nes virusai – tiesiog genetinės medžiagos gumulėliai, galintys daugintis tik gyvose kitų organizmų ląstelėse. Bet labiau įsigilinus į fundamentalesnius paaiškinimus, šis neapibrėžtumas turėtų išnykti.

Fundamentalūs gamtos dėsniai užrašyti aiškia, nedviprasmiška matematikos kalba. Matematika, kaip dabar ją suvokiame, yra paremta aibių teorija, ir matematinė aibė yra pats neapibrėžtumo nebuvimo apibrėžimas. Kas nors arba yra aibės narys – tarkime, visų nelyginių skaičių aibė, arba visai skaičiai, besidalinantys iš 11 – arba nėra. Aibės griežtai apibrėžiamos lygybėmis: jei dviejų aibių nariai yra tokie patys skaičiai, tai yra ta pati aibė. Panašiai griežtai apibrėžiamos ir iš aibių sukurtos bet kokios matematinės funkcijos, topologinės erdvės ar geometrinės formos. Sunku įsivaizduoti, kaip fundamentalūs fizikos dėsniai galėtų būti pilnai ir nuosekliai išreikšti, jeigu juose būtų bent koks neapibrėžtumas.

„Praeities Hipotezė pretenduoja būti fundamentaliu dėsniu, tačiau ji iššaukiamai neapibrėžta”

Pakraščiai

Paimkime, pavyzdžiui, Izaoko Niutono visuotinės traukos dėsnį, ar jo antrąjį judėjimo dėsnį, skelbiantį, kad jėga lygi masės ir pagreičio sandaugai \((F=ma)\). Tokie fizikos dėsniai yra atsitiktiniai ta prasme, kad juos nustato gamta. Iš visų įmanomų visatos būsenų šie dėsniai pasirenka mažą fiziškai įmanomų versijų poaibį. Juose ribinių atvejų nėra: šioje realybėje objektai toms lygtims paklūsta vienareikšmiškai – jokių „jeigu“, jokių „bet“.

Šiems dėsniams taip pat būdinga savybė, kurios reikšmė paaiškės vėliau: atsekamumas. Mūsų visata jautri dėsnių pokyčiams. Pavyzdžiui, bet kokius gravitacinės konstantos, \(G\), pokyčius pajus masyvūs objektai, ir pakeis planetų judėjimą apie žvaigždes, galaktikų formavimąsi, materijos pasiskirstymą kosmose ir nuo lentynos krintančios vazos lemtį, šiai susidūrus su grindimis. Tiksli \(G\) reikšmė pasaulyje palieka pėdsakus. Panašiai ir pakeitus \(F=ma\) į \(F=ma^{1,001}\), įvyktų užfiksuojami fiziniai pokyčiai: tam tikrai jėgai veikiant tam tikrą masę, pagreitis būtų mažesnis.

Tie patys argumentai tinka ir kitoms fundamentalioms fizikos reikšmėms, pavyzdžiui, kvantinių sistemų vystymąsi aprašančiai Erwino Schrödingerio lygčiai, ar Alberto Einšteino bendrojo reliatyvumo lauko lygtims, apibrėžiančioms visos visatos raidą.

Ar pasakiau visos? Turėjau omenyje, ne visai visą. Panašu, yra vienas svarbus fundamentaliosios fizikos elementas, kuris drąsiai gali būti laikomas dėsniu, tačiau į šiuos rėmus netelpa.

Jo kilmė – gluminantis pastebėjimas, kad, nors visos fundamentaliosios fizikos lygtys yra simetriškos laiko atžvilgiu, kas reiškia, kad jos vienodai gerai veikia tiek viena, tiek kita kryptimi, mus supantis pasaulis yra visiškai nesimetriškas laiko atžvilgiu ir neapsukamas. Laiko strėlės egzistavimo faktas dažnai apibendrinamas antruoju termodinamikos dėsniu, nubrėžiančiu realybėje galinčių vykti procesų ribas. Pavyzdžiui, ledo kubeliai tirpsta gėrime, jį atvėsindami, bet spontaniškai jame nesusiformuoja.

Priežasčių aiškinimasis veda prie Praeities Hipotezės. Ji teigia, kad visatos pradžios sąlygos buvo labai ypatingos: iš pradžių ji buvo žemos entropijos būsenos, labai tvarkinga. Tai ko gero fundamentaliausias dėsnis apie visatos veikimą koks tik gali būti – tačiau jis iššaukiamai neapibrėžtas. Pagal laisviausią versiją, jis tiesiog teigia, kad pradinės visatos būsenos entropija buvo žema. Kokio mažumo yra mažumas?

Šį potencialų fundamentalaus fizikos dėsnio neapibrėžtumą vadinu „leistinu neapibrėžtumu“. Jis skiriasi nuo kitų trijų neapibrėžtumų ir gali būti fundamentalesnis. Bet pažvelkime atidžiau, koks jis yra Praeities Hipotezės atveju.

Pirma, jos neabrėžtumą galima nustatyti tiksliau. Remiantis astrofizikos duomenimis, galime apibūdinti pradinę visatos būseną tokiais makroskopiniais rodikliais kaip temperatūra, slėgis ir entropija. Tačiau klasikinėje statistinėje mechanikoje ši makrobūsena atitinka individualias skirtingų pozicijų ir greičių dalelių mikrobūsenas. Daug skirtingų mikrobūsenų mums iš esmės atrodo vienodai, kai matuojame makrobūseną. Kokios mikrobūsenos atitinka kurią makrobūseną nėra aiškiai apibrėžta. Visada bus ribinių atvejų, kai konkreti dalelių konfigūracija gali susitelkti, tarkime, į konkrečios temperatūros pradinę būseną – arba ne.

O ką, jei tiesiog nustatytume griežtas makrobūsenos ribas, teigdami, kad pradinė visatos būsena atitinka šią galimų mikrobūsenų aibę ir ne kitas? Pavadinkime tai Stipria Praeities Hipoteze. Tai reiškia, kad bet koks visatos pradinės būsenos neapibrėžtumas kyla dėl to, kad jos makrobūsenos tiksliai nežinome. Tada tai būtų panašu į jau aptartą episteminį neapibrėžtumą. Taigi… nieko naujo?

Neatsekami dėsniai

Problema, kad tokia Stiprios Praeities Hipotezė yra atsitiktinė, nepagrįsta, ir ne tik taip, kaip kiti dėsniai ar konstantų reikšmės. Šios hipotezės atsitiktinumas yra neatsekamas: jei gravitacinės konstantos reikšmės pakeitimas atsispindėtų visoje visatos sandaroje, tai pradinė makrobūsena gali būti begalės pradinių būsenų, ir tai nepadarytų jokios įtakos dabartinei ar netgi joje vykstančių procesų tikimybei.

Tad, lieka dilema: reikia priimti arba leistiną neapibrėžtumą, arba leistiną neatsekamumą. Tam tikra prasme tai tiesiog skonio reikalas, bet siūlau vengti neatsekamumo. Visatos stebėjimai dažnai atskleidžia atsekamų dėsnių prigimtį. Tuo tarpu neatsekamų dėsnių su faktais susieti nepavyks. Negalime moksliškai nustatyti, kokie jie; neatsekamus dėsnius ir pasaulį skiria tarpas.

Tačiau dilemos sprendimą gali pasiūlyti fizika, tiksliau, stebinančioji jos dalis – kvantinė teorija.

Iš pirmo žvilgsnio, tai atrodo kaip mažiausiai tikėtina vieta ieškoti būdų išvengti fizikos dėsnių neapibrėžtumo. Čia tokie kvantiniai objektai kaip dalelės, apibūdinami „bangos funkcijomis“, neturinčiomis apibrėžtos vietos erdvėje ar kokios nors kitos tiksliai apibrėžtis savybės. Be to, kad realybė atrodo atrodo supainiota ontologiniu neapibrėžtumu, dar ir pats šį neapibrėžtumą išsprendžiantis matavimas, „kolapsuojantis“ kvantinės bangos funkciją į tikslias būsenas, yra pats apibrėžiamas labai jau aptakiai. Kaip sako fizikas John Stewart Bell: „Kas konkrečiai fizikinėje sistemoje yra matavimas“? Ar pasaulio bangos funkcija laukė milijardus metų, kol atsirado vienaląsčiai organizmai? O gal jai reikėjo luktelėti ilgėliau, kol atsirado truputį geriau tam tinkanti sistema… su PhD laipsniu?“

Neapibrėžtumas išties yra klasikinės kvantinės teorijos savybė – bet yra ir kitų, konkuruojančių interpretacijų. Daugelio pasaulių interpretacijoje, visata pasidalina į visas galimybes. Tokioje versijoje fundamentaliu lygiu nėra neapibrėžtumo: visi fundamentalūs dalykai yra tiksliai apibrėžti, o dinaminiai dėsniai tiksliai nurodyti. Tuo tarpu, Bohmo mechanikoje, dar žinomoje kaip pilotinės bangos teorija, visata visą laiką vystosi determinuotai, pagal tikslias matematikos lygtis. O „spontaniško kolapso“ teorijose bangos funkcijos kolapsas yra tiesiog atsitiktinė ir spontaniška visatos dinaminių dėsnių ypatybė, nepaliekanti jokio neapibrėžtumo ar mistiško vaidmens matuotojui.

Kaip tai galėtų pasitarnauti Praeities Hipotezei? Detalės sudėtingos, bet apibendrinus, kvantinė mechanika, kitaip nei klasikinė, leidžia sujungti pradinę visatos mikrobūseną ir makrobūseną tiksliu ir atsekamu būdu. Tradiciškai pradinę kvantinę visatos būseną aprašo bangos funkcija, o Praeities Hipotezė apriboja įmanomas bangos funkcijas iki mažo poaibio, suderinamo su mažos entropijos makrobūsena. Mano atliktas darbas rodo, kad galime nustatyti pradinę visatos būseną kaip kažką ekvivalentiško visų įmanomų bangos funkcijų sumai.

Fundamentaliai neapibrėžta?

Pilotinės bangos ir daugelio pasaulių teorijos, „pradinės tankio matricos“ forma veikia tolesnę visatos evoliuciją; spontaniško kolapso teorijose apibrėžiama kaip atsitiktinai vyksta kolapsai. Pradinės tankio matricos pokyčiai įprastai pakeičia visatos išvaizdą, visai kaip ir kitų dinaminių konstantų ir dėsnių atveju. Taip kvantinė teorija padeda mums išlaikyti ir leistiną tikslumą ir atsekamumą.

Bet nėra garantijos, kad toks sprendimas iš viso įmanomas: dar toli gražu iki kvantinio visatos pradžios aprašymo, ir gali būti, kad galutinė tikrovės prigimties teorija gali būti ne visiškai kvantinė. O jei taip, vėl grįžtame prie dilemos, priversti pripažinti leistiną neapibrėžtumą – o to pasekmės gali būti itin svarbios, ne paskutinėje vietoje ir mūsų gebėjimui panaudoti matematiką aprašyti visatą. Bet koks bandymas sukurti fundamentalų, tačiau neapibrėžtą dėsnį, tokį kaip Praeities Hipotezė, naudojant tradicinę, aibių teorija pagrįstą, matematiką, neišvengiamai ko nors neapims, arba kur nors lems bereikalingą aštrumą.

„Matematikai gali niekados nepavykti apimti visą objektyvią visatos tvarką”

Tai tikriausiai suteikia progą pamąstyti apie visatos aprašymą už klasikinės matematikos ribų. Yra ir kitų galimų matematikos pagrindų, ne vien aibių teorija. Pavyzdžiui, kategorijų teorija dėmesį sutelkia ne į matematinio objekto priklausomybę aibei, o į abstrakčius objektų ryšius. Dar yra homotopinė tipų teorija, laisviau žiūrinti į objektų lygybę, kuri yra aibių teorijos pagrindas ir objektus aprašo keliais tarp abstrakčios erdvės taškų. Bet kuris iš šių būdų galėtų suteikti geresnę kalbą aprašyti visus fizikos dėsnius, siūlančią daugiau lankstumo tvarkytis su neapibrėžtumais. Lygiai taip pat gali būti, kad jokia matematika su tuo susitvarkyti negali.

O kaip būsimi fizikos dėsniai? Tai yra didelis klaustukas. Bet jei leistinas neapibrėžtumas įmanomas, gal nereikia apriboti savęs formulavimu dėsnių, kurie tegali būti aprašomi tikslia matematika. Pavyzdžiui, fizikai Abhay Ashtekar ir Brajesh Gupt neseniai pasidarbavo su kilpine kvantine gravitacija, viena iš perspektyvių kvantinės teorijos apjungimo su A. Einšteino bendrojo reliatyvumo gravitacijos teorija kandidačių. Jų pasiūlytos pradinės visatos sąlygos galėtų būti leistinojo neapibrėžtumo atvejis, dėl neapibrėžtos „Planko režimo“ – ankstyviausios visatos epochos, kai kvantiniai gravitacijos efektai dominavo prieš visas kitas jėgas. Tai viena iš užuominų, rodančių, kad galutinė fizikos teorija gali nebūti išreiškiama vien matematiškai.

Matematika tebelieka nepaprastai naudinga. Bet jeigu yra leistinas neapibrėžtumas, jai gali niekados nepavykti apimti objektyvią visatos tvarką. Gali paaiškėti, kad toks neapibrėžtumas yra kur kas gilesnis, nei smilčių skaičiaus nustatymas ar plaukų skaičiavimas ant plikės.