Begalybės pabaiga: metas užbaigti pasaką be galo?

Begalybė. Tai nepaklūstanti vaizduotei koncepcija. Sunkokai sekasi suvokti dalykus, kurie tiesiog yra ypatingai dideli: Saulės sistemą, mūsų galaktiką, regimą visatą. Bet šie dydžiai yra niekas, palyginus su begalybe. Vien nuo mąstymo apie tai svaigsta galva.

Bet negalime to išvengti. Mums pažįstama matematika išvarpyta begalybėmis. Skaičiai tęsiasi iki begalybės ir toliau, jie dalomi iki begalybės: tarp dviejų skaičių egzistuoja begalybė skaičių. Skaičiai tokiuose skaičiuose, kaip π, tęsiasi be galo. Ar žiūrėtume geometriją, trigonometriją ar algebrą, matematinės manipuliacijos, naudojamos pasauli sandaros išsiaiškinimui, stovi ant idėjos, kad kai kurie dalykai niekada nesibaigia.

Tik bėda, kad kartą paleistos, šios begalybės tampa laukinėmis, nesuvaldomomis bestijomis. Jos susprogdina lygtis, kuriomis fizikai bando paaiškinti gamtos fundamentalius dėsnius. Jos trikdo vieningo kosmosą formuojančių jėgų vaizdo suformavimą. O blogiausia, kad pridėjus begalybes prie naujagimę visatą sudariusio sprogaus mišinio, jos nebeleidžia daryti jokių mokslinių prognozių.

Visa tai skatina drąsias kelių fizikų ir matematikų spekuliacijas: gal galime apsieiti be begalybių?

Tikėjimas amžinu nesibaigimu ne visada buvo vyraujantis požiūris. „Didžiąją dalį matematikos istorijos, begalybė buvo laikoma ištiestos rankos atstumu,“ sako matematikas Normanas Wildbergeris Iš Naujojo Velso universiteto Sidnėjuje, Australijoje. Didžiąją laiko dalį, nuo Arsitotelio iki Niutono ir Gauso, vienintelė begalybė buvo „potenciali“ begalybė. Tokia begalybė leidžia pridėti 1 prie bet kokio skaičiaus, nebijant, kad atsidursite skaičių linijos gale, bet ji pati niekada išties nepasiekiama. Tai labai toli nuo „tikros“ begalybės – tokios, kuri jau pasiekta ir patogiai supakuota kaip matematinė esybė, kuria galime manipuliuoti lygtyse.

Reikalai pasikeitė, kai XIX a. pabaigoje vokiečių matematikas Georgas Cantoras išrado aibių teoriją, dabartinės skaičių teorijos pagrindą. Jis teigė, kad aibės, turinčios begalinį elementų skaičių, pačios yra matematiniai objektai. Ši geniali įžvalga leido skaičių prasmę apibrėžti taip griežtai, kaip matematikams jau seniai neišėjo. Aibių teorijoje, begalinė „realių“ skaičių seka, kurioje yra visi racionalūs skaičiai (tokie, kaip, pavyzdžiui, ½, kuriuos galima išreikšti sveikų skaičių santykiu) bei iracionalūs skaičiai (kurių sveikų skaičių santykiu išreikšti neina, pavyzdžiui, π) imta laikyti tikra, o ne potencialia begalybe. „Niekas neišguis mūsų iš Cantoro sukurto rojaus,“ vėliau pareiškė matematikas Davidas Hilbertas.

Tačiau fizikams begalinis rojus tapo veikiau jau skaistykla. Tarkime, Standartinis dalelių modelis ilgai buvo apsėstas patologiškų begalybių, pavyzdžiui, kvantų elektrodinamikoje, kvantinėje elektromagnetinės jėgos teorijoje. Iš pradžių ji rodė begalinę elektrono masę ir krūvį.

Dešimtmečiai darbo, apdovanoto ne viena Nobelio premija, panaikino šias nesąmoningas begalybes – ar bent jau daugumą jų. Gravitacija užsispyrusi priešinosi suvienijimu su kitomis Standartinio modelio gamtos jėgomis, atsispirdama geriausioms fizikų pastangoms neutralizuoti begalybės efektus. Ekstremaliomis aplinkybėmis, tokiomis, kokios egzistuoja juodosiose bedugnėse, Einšteino bendrojo reliatyvumo lygtys, apibūdinančios gravitacijos veikimą, subyra, kai materija tampa be galo tanki ir karšta, o erdvėlaikis – be galo iškreivintas.

Bet didžiausią sumaištį begalybė kelia per Didįjį sprogimą. Remiantis kosminės infliacijos teorija, pirmosiomis sekundės dalimis visata plėtėsi labai sparčiai. Infliacija paaiškina pagrindines visatos savybes, tarp kurių – žvaigždžių ir galaktikų egzistavimas. Bet jos sustabdyti neina. Nors nuo mūsų visatos nusistovėjimo prabėgo daug laiko, ji tebeplečia kitas erdvėlaikio sritis, kurdama begalines „multivisatas“ begaliniame Didžiųjų sprogimų sraute. Begalinėje multivisatoje viskas, kas gali nutikti, nutiks begalę kartų. Tokia kosmologija numato viską – tai reiškia tą patį, kad nenumato nieko.

Ši painiava žinoma, kaip matavimo problema, nes daugelis kosmologų mano, kad tai bus pataisyta tinkamu „tikimybių matavimu“, leisiančiu sužinoti tam tikros rūšies visatos tikimybę ir taip grąžinsiančiu mums numatymo galią. Kiti galvoja, kad netvarkoje kažkas fundamentalesnio. „Infliacija sako, – ei, čia kažkas visiškai sujaukta tame, ką darome,“ sako kosmologas Maxas Tegmarkas iš MIT. „Kažkuri pamatinė prielaida yra neteisinga“.

Tegmarkui tas „kažkas“ yra begalybė. Fizikai laiko erdvėlaikį begaliniu matematiniu kontinuumu; kaip realių skaičių eilė, ji neturi tarpų. Atsisakius tokios prielaidos, pasikeistų visa kosminė istorija. Infliacija temps erdvėlaikį tik tol, kol šis suirs. Tada infliacija turi sustoti, palikdama didelę, tačiau baigtinę multivisatą. „Visos mūsų problemos su infliacija ir matavimų problema kyla iš prielaidos apie begalybę,“ sako Tegmarkas. „Tai paskutinė nepatikrinta prielaida.“

Trikdanti įtaka

Yra ir gerų priežasčių manyti, kad tai nepatvirtinta prielaida. Iš Stepheno Hawkingo ir Jacobo Bekensteino aštuntajame dešimtmetyje atliktų juodųjų bedugnių kvantinių savybių tyrimų išsivystė holografinis principas, pagal kurį maksimalus informacijos kiekis telpantis bet kokiame erdvėlaikio tūryje yra proporcingas maždaug ketvirčiui jo horizonto ploto. Mūsų dydžio visatoje gali tilpti apie 10¹²² informacijos bitų. Jei visatą tikrai valdo holografinis principas, begalybei paprasčiausiai nėra vietos.

Žinoma, eksperimentų rezultatų užfiksavimui tiek bitų toli gražu nereikia. Davidas Winelandas, fizikas iš Nacionalinio standartų ir technologijos instituto Boulderyje, Kolorado valstijoje, pasidalino pernai metų Nobelio fizikos premiją už tiksliausią pasaulyje matavimo įrenginį, atominį laikrodį, galintį matuoti 17 ženklų po kablelio tikslumu. Elektrono anomališkas magnetinis momentas, silpnutis kvantinis poveikis dalelės sukiniui, buvo išmatuotas 14 ženklų po kablelio tikslumu. Tačiau netgi geriausi įrenginiai niekada neišmatuos begaliniu tikslumu ir tai kai kuriems fizikams labai kliūna. „Nemanau, kad begalybė kam nors patinka,“ sako Raphaelis Bousso iš Kalifornijos universiteto Berkeley'yje. „Joks eksperimentas tokio rezultato neduoda.“

Bet jei begalybė yra tokia svarbi mūsų pasaulio aprašymui naudojamos matematikos kalbos dalis, kaip galime tikėtis jos atsikratyti? Wildbergeris bandė tai išsiaiškinti, paskatintas to, ką jis laiko begalybės trikdančiomis įtakomis pačiai sau. „Modernioje matematikoje yra svarbių silpnų vietų, siejamų su begalinėmis aibėmis ar realiais skaičiais“, sako jis.

Pastarąjį dešimtmetį jis kūrė naują, neturinčią begalybės trigonometrijos ir euklidinės geometrijos versiją. Įprastinėje trigonometrijoje begalybių pilna visur. Kampai aprašomi, kaip apskritimo perimetrai, ir iš čia kyla begalinė skaičių seka, iracionalusis skaičius π. Matematinės funkcijos, pavyzdžiui, sinusai ir kosinusai, siejantys kampus su dviejų linijų ilgių santykiu, apibūdinami kaip begaliniai skaičiai ir paprastai gali būti apskaičiuoti tik apytikriai. Wildbergerio „racionalioji geometrija“ siekia išvengti šių begalybių, pavyzdžiui, pakeisdama kampus, „plėtiniu“, apibūdinamu be nuorodos į apskritimą, o kaip racionalus rezultatas, gaunamas iš dvi linijas erdvėje aprašančių matematinių vektorių.

Doronas Zeilbergeris iš Rutgerso universiteto Piscataway'juje, Naujajame Džersyje, mano, kad šis darbas turi potencialo. „Viskas padaryta visiškai racionaliai. Tai gražus būdas,“ sako jis.

Kita vertus, pats Zeilbergeris laikosi tokio radikalaus begalybės požiūrio, kad net prieš Cantorą gyvenę matematikai vartosi karstuose. Jei Wildbergerio darbas skirtas atsikratyti tikros begalybės, kaip realaus objekto, naudojamo manipuliacijose, Zeilbergeris nori atsikratyti dar ir potencialios begalybės. Pamirškite viską, ką manėte žinantys apie matematiką: didžiausias skaičius yra. Pradėkite nuo 1, skaičiuokite toliau ir galiausiai pasieksite skaičių, kurio negalėsite viršyti – savotišką matematikos šviesos greitį.

Tai kelia krūvą klausimų. Kokio dydžio yra didžiausias skaičius? „Jis toks didelis, kad jo niekada negalėsite pasiekti,“ tvirtina Zeilbergeris. „Nežinome, koks jis yra, tad turime duoti jam pavadinimą, simbolį. Vadinu jį N₀.“ Kas nutinka, kai prie jo pridedi 1? Zeilbergerio atsakymas analogiškas kompiuterio procesoriaus. Kiekvienas kompiuteris turi didžiausią sveiką skaičių, su kuriuo jis gali susitvarkyti: jį viršijus, gaunama perpildymo klaida arba procesorius vėl pradeda skaičiuoti nuo nulio. Zeilbergeriui antroji galimybė atrodo elegantiškesnė. Gana skaičių eilės, nutįsusios be galo toli į abi puses. „Galime perdaryti matematikos postulatus taip, kad būtų didžiausias skaičius ir kad jis būtų cikliškas“, tvirtina jis.

Hugh Woodinas, aibių teoretikas Kalifornijos universitete Berkeley'yje, nusiteikęs skeptiškai. „Žinoma, jis gali būti teisus. Bet man toks požiūris atrodo ribojantis. Kodėl reikėtų jį priimti, nebent turint tvirtų įrodymų, kad jis išties teisingas?“ Jam aibių teorijos sėkmė su visomis jos begalybėmis yra pakankama priežastis išlaikyti status quo.

Kol kas baigtinė matematika daugiausia dėmesio susilaukė iš kompiuterių mokslų ir robotikos tyrėjų, kurie dirba su baigtinėmis matematikos formomis. Baigtiniai kompiuterio procesoriai iš tiesų negali susitvarkyti su realiaisiais skaičiais visoje jų begalybės šlovėje. Jie aproksimuoja juos, naudodami slankiojo kablelio aritmetiką – mokslinio žymėjimo formą, leidžiančią kompiuteriui numesti skaitmenis nuo realių skaičių ir taip sutaupyti atmintį, neprarandant bendro vaizdo.

Mintis, kad mūsų baigtinė visata gali veikti panašiai, nėra nauja. Konradas Zuse'as, vokiečių inžinierius ir vienas iš slankiojo kablelio aritmetikos pionierių, sukūrė pirmąjį pasaulyje programuojamą elektroninį kompiuterį savo tėvų svetainėje 1938 m. Matydamas, kad jo mašina gali spręsti diferencialines lygtis (kurios paprastai naudoja be galo mažus žingsnelius fizinių sistemų vystymosi skaičiavimui), nesinaudodama begalybe, jis įsitikino, kad tolydi matematika tebuvo diskretinės ir baigtinės realybės aproksimacija. 1969 m. Zuse'as parašė knygą Calculating Space (Erdvės skaičiavimas), kurioje tvirtino, kad pati visata yra skaitmeninis kompiuteris – toks, kuriame nėra vietos begalybei.

Tegmarką savo ruožtu intriguoja faktas, kad fizikų naudojami skaičiavimai ir simuliacijos, skirti patikrinti teoriją su tvirtais pasaulio faktais, gali būti atliekami baigtiniame kompiuteryje. „Jau vien tai rodo, kad begalybės nereikia niekam, ką darome,“ sako jis. „Nėra visiškai jokių įrodymų, kad gamta daro tai kaip nors kitaip, kad gamtai reikia apdoroti begalinius informacijos kiekius.“

Sethas Lloydas, fizikas ir kvantinės informacijos specialistas, irgi iš MIT, tokias analogijas tarp kosmoso ir paprasto, baigtinio kompiuterio, vertina atsargiai. „Neturime įrodymų, kad visata elgiasi lyg ji būtų klasikinis kompiuteris,“ sako jis. „Ir daugybę įrodymų, kad ji elgiasi kaip kvantų kompiuteris.“

Iš pirmo žvilgsnio, tai neturėtų kelti problemų norintiems atsikratyti begalybės. Kvantų fizika gimė, kai, žengiant į XX a., fizikas Maxas Planckas parodė, kaip reikia tvarkytis su kita beprasme begalybe. Klasikinės teorijos teigė, kad absoliučiai juodas kūnas turėtų spinduliuoti begalinį energijos kiekį, kas aiškiai neatitiko tikrovės. Planckas išsprendė problemą, iškeldamas idėją, kad energija sugeriama ir skleidžiama ne be galo dalinamais energijos kiekiais, o diskrečiais gabalėliais – kvantais.

Sunkumai prasideda nuo Schrödingerio katės. Kai niekas nežiūri, žymioji kvantinė katė gali būti gyva ir mirusi tuo pačiu metu: ji pakibusi daugelyje vienas kitą paneigiančių, nuolatos besimaišančių būsenų. Matematiškai šis kontinuumas gali būti aprašytas tik naudojant begalybes. Tas pats pasakytina ir apie kvantų kompiuterių „kubitus“, galinčius tuo pat metu atlikti vienas kitą paneigiančius veiksmus, pakol niekas nereikalauja rezultato. „Jei norite nusakyti visą kubito būseną, jums prisireiks begalinio kiekio informacijos,“ pažymi Lloydas.

Į triušio urvą

Tegmarkas nesutrinka. „Kai buvo atrasta kvantų mechanika, supratome, kad klasikinė mechanika buvo tiesiog aproksimacija,“ sako jis. „Manau, įvyks kita revoliucija ir išvysime, kad ir pati tęstinė kvantų mechanika tėra aproksimacija dar gilesnės, visiškai baigtinės teorijos.“

Lloydas atsako, kad turime dirbti su tuo, ką turime. „Manau sau, kodėl tiesiog nepriimame to, ką kvantų mechanika mums pateikia, užuot stengęsi visatai pritaikyti savo išankstinį nusistatymą? Tai niekada nesuveikia,“ sako jis.

Tačiau tolesnio kelio ieškantiems fizikams idėjos patrauklumą įžvelgti paprasta. Jei tik galėtume išguiti begalybę iš teoriją pagrindžiančios matematikos, galbūt pasisektų išvysti fizikos apjungimo būdą. Konkrečiai Tegmarko baubo, matavimų problemos atveju, galėtume išsilaisvinti iš būtinybės rasti pasirinktinį tikimybės matavimą, kad atgautume kosmologijos numatymo galią. Baigtinėje multivisatoje galėtume paprasčiausiai suskaičiuoti tikimybes. Jei išties būtų didžiausias skaičius, turėtume suskaičiuoti tik iki jo.

Woodinas veikiau atskirtų fizikinės ir matematinės begalybės sąvokas. „Visai gali būti, kad fizika yra visiškai baigtinė,“ svarsto jis. „Bet šiuo atveju, mūsų aibių teorijos koncepcija rodo atradimą tiesos, kuri yra toli už fizinės visatos ribų.“

Tuo tarpu Tegmarkas mano, kad matematika ir fizika neatskiriamai susijusios – kuo giliau neriame per fizikos triušio urvą į gilesnius tikrovės lygius, tuo daugiau išvystame dalykų, sukurtų vien iš matematikos. Jam lemtinga matavimo problemos klaida sako, kad norėdami atsikratyti fizinės begalybės visatos, privalome pergalvoti ir matematiką. „Tai sako mums, kad reikalai yra ne šiek tiek neteisingi, o siaubingai klaidingi.“

Amanda Gefter
New Scientist, № 2930