Matematinis „perliukas“, kurio niekas negali išspręsti: ar įveiksite šį iššūkį jūs?

Vilniaus universiteto (VU) Matematikos ir informatikos instituto mokslo darbuotojas docentas matematikos daktaras Igoris Belovas skaitytojams siūlo susipažinti su trečiąją sąraše – Ležandro hipoteze apie pirminių skaičių pasiskirstymą.

Hipotezė ir portretas

Mokslo istorija žino daug garsių, sulaukusių šlovės ir pripažinimo matematikų. Bet genialūs nevykėliai yra žinomi daug mažiau. Nedaug kas yra girdėję apie Adrieną Marį Ležandrą, nors jo įnašą į matematikos lobyną galima drąsiai lyginti su daugelio kitų žymių mokslininkų pasiekimais.

A. M. Ležandras gimė turtingu, tačiau Didžioji Prancūzijos revoliucija iš jo viską atėmė, o senatvėje jis neteko ir savo profesoriaus pensijos. Jam pavyko įrodyti Didžiąją Fermą teoremą atveju, kai n = 5, bet po to pasirodė, kad Leženas Dirichlė gavo įrodymą šiek tiek anksčiau.

Jis atrado labai svarbu mažiausių kvadratų metodą, kuriuo pats Ležandras labai didžiavosi, tačiau paaiškėjo, kad vokiečių matematikas Karlas Gausas, dažnai tituluojamas „matematikų karaliumi“, jau turi šio metodo prioritetą.

Daug metu jis tyrinėjo elipsines funkcijas, tačiau po Nilso Abelio ir Karlo Jakobio publikacijų jo darbai nuvertėjo. Jis sugalvojo tris penktojo Euklido postulato įrodymus, tačiau visi trys pasirodė klaidingi, o šiek tiek vėliau Nikolajus Lobačevskis ir Janošas Bojajis „uždarė“ šią tematiką.

Jis iškelė hipotezę apie pirminių skaičių pasiskirstymo dėsnį, tačiau Pafnutijus Čebyševas gavo tikslesnę šio dėsnio išraišką ir dar įrodė, kad ši išraiška yra teisinga. Galiausiai beveik du šimtmečius (iki pat 2005 metų!) visose knygose ir straipsniuose vietoje jo portreto buvo pateikiamas vienavardžio dabar mažai žinomo Didžiosios Prancūzijos revoliucijos veikėjo Lui Ležandro, sugebėjusio draugauti su visais revoliucijos lyderiais ir visus tinkamu laiku išduoti (taigi, giljotinos išvengė), portretas.

Matematiko portreto neišliko. Išliko tik viena karikatūra. Tikra istorijos pašaipa.

Buvo padaryta daug spėjimų, tačiau vienas sulaukė bene didžiausio dėmesio

Pirminių skaičių pasiskirstymas sveikųjų skaičių aibėje visada domino mokslininkus. Jau Euklidas žinojo, kad pirminių skaičių yra be galo daug.

Antroji Landau problema – pirminių dvynių hipotezė – teigė, jog pats mažiausias tarpas tarp dviejų gretimų pirminių, lygus 2, pasitaiko be galo dažnai. O ką galima pasakyti apie didžiausius „pirminius tarpus“, tai yra, atstumus tarp gretimų pirminių, arba tarpus tarp dviejų sveikųjų skaičių, kuriuose būtinai yra bent vienas pirminis?

Ieškant atsakymų į šiuos klausimus buvo padaryta įvairių spėjimų, tačiau bene didžiausio dėmesio sulaukė Ležandro hipotezė, teigianti, kad tarp dviejų gretimų sveikųjų skaičių kvadratų būtinai yra bent vienas pirminis skaičius.

Pats Ležandras įrodyti savo teiginio nesugebėjo, o jo spėjimas nėra nei patvirtintas, nei paneigtas iki šiol. Edmundas Landau 1912 m. įtraukė jį į svarbiausių neišspręstų skaičių teorijos uždavinių sąrašą.

Pabandykite savarankiškai įrodyti teiginį

Į Ležandro hipotezę iš pirmo žvilgsnio labai panašus 1845 m. prancūzų mokslininko Žozefo Bertrano paskelbtas postulatas, jog tarp sveikųjų skaičių n ir 2n yra pirminis skaičius, čia n > 1.

Bertranas patikrino tai visiems skaičiams iki 3 000 000, tačiau pilnai įrodyti postulato nesugebėjo. Tai padarė 1852 m. jau minėtas Pafnutijus Čebyšovas.

Ar Ležandro hipotezė išplaukia iš Bertrano postulato? Deja, ne. Nors iš postulato seka, kad tarp n2 ir 2n2 yra pirminis skaičius, tačiau, kai n > 2, turime n2 < (n+1)2 < 2n2 ir postulatas neveikia.

Dar pabandykite savarankiškai įrodyti tokį teiginį (atsakymas straipsnio pabaigoje):

Iš teiginio, kad bet koks pirminis skaičius, padaugintas iš dviejų, yra didesnis už sekantį pirminį, „išplaukia“ Bertrano postulatas

Gavo svarbių rezultatų

1937 m. anglų matematikas A. Ingemas įrodė, kad tarp dviejų pakankamai didelių gretimų skaičių kubų visada yra bent vienas pirminis skaičius. Beliko pasitelkti kompiuterį, patikrinti šį spėjimą visiems skaičiams iki ribos, kylančios iš Ingemo rezultato, ir tuomet spėjimas bus visiškai patvirtintas.

1975 m. kinų matematikas Čenas įrodė rezultatą, kad tarp gretimų sveikųjų skaičių kvadratų būtinai yra pirminis arba pusiau pirminis (dviejų pirminių sandauga) skaičius.

Čenas taip pat gavo svarbių rezultatų, spręsdamas ir pirmąsias dvi Landau problemas. Jo pasiekimai vystant skaičių teoriją buvo gerai įvertinti Kinijoje. Jam pastatytas paminklas Fudžiano provincijoje, jo vardu pavadintas vienas asteroidas ir išleistas pašto ženklas su jo siluetu ir įrodyta nelygybe apie Goldbacho hipotezę.

Visai neseniai, 2006 m. M. El Bachraoui įrodė, kad tarp skaičių 2n ir 3n visada yra pirminis skaičius, o 2011 m. A. Lu žengė dar toliau, parodęs, kad pirminių yra ir tarp 3n ir 4n, čia n bet kuris sveikas skaičius.

Atrado iš nuobodulio

Jei Ležandro hipotezė teisinga, tai tarpai tarp pirminio p ir jam gretimo turėtų būti √p eilės. Haraldas Krameris, žymus švedų statistikas, iškėlė hipotezę, kad tarpai iš tikrųjų yra dar mažesni, log2(p) eilės. Jei H. Kramerio hipotezė teisinga, tai teisinga ir Ležandro hipotezė.

Beje, Krameriui pavyko įrodyti, kad iš Rymano hipotezės kyla silpnesnis įvertis, √p log(p) eilės. Iš Ležandro hipotezės galima suprasti, kad bent vienas pirminis skaičius gali būti rastas kiekviename Ulamo spiralės pusapsisukime.

Kas yra Ulamo spiralė? Šis fenomenas buvo atrastas visiškai atsitiktinai. 1963 m. lenkų kilmės amerikiečių matematikas Stanislovas Ulamas, beje, vienas iš Telerio-Ulamo termobranduolinės bombos tėvų (10,4 megatonų Ivy Mike, susprogdinta per visų Šventųjų dieną 1952 m.), labai nuobodžiavo klausydamas ilgo ir nuobodaus pranešimo.

Nesurasdamas, ką veikti, jis tuščiame popieriaus lape nupiešė lentelę ir ėmė numeruoti langelius spirale, pradėdamas nuo centro. Staiga jis pastebėjo, kad pirminiai skaičiai išsidėsto pagal lentelės įstrižaines.

Šis faktas taip sudomino Ulamą, kad jis pradėjo tyrinėti gigantiškas skaičių spirales, pasitelkdamas vieną iš pirmųjų kompiuterių, 1957 m. paleistą MANIAC II iš garsiosios Los-Alamos laboratorijos. Tai buvo vienas pirmųjų kompiuterinės grafikos pritaikymų ir jau kitais metais (1964 m. kovo mėn.)

Ulamo spiralė pasirodė mokslo populiarinimo žurnalo Scientific American viršelyje.

Hipotezės įrodyti nepadėjo

Ulamo spiralės įstrižainės yra aprašomos kvadratinėmis lygtimis su sveikaisiais koeficientais. Taigi spiralės grafikas leidžia vizualiai atrasti antro laipsnio daugianarius, dažnai įgyjančius pirmines reikšmes.

Labai geru tokios funkcijos pavyzdžiu yra Eulerio daugianaris 4n2 − 2n + 41, generuojantis pirmines reikšmes, kai argumentas n yra mažesnis už 41.

Tačiau net ši įspūdinga Ulamo spiralė nepadėjo įrodyti Ležandro hipotezės, nors buvo patikrinta kompiuteriu ir išsiaiškinta, kad iki 1018, pakelto 18-uoju laipsniu, hipotezė yra teisinga.

Uždavinio sprendimas

Pakanka parodyti, kad jei Bertrano postulatas yra klaidingas, tai egzistuoja gretimi pirminiai, kurių santykis viršija 2. Taigi, tegu Bertrano postulatas yra klaidingas.

Tuomet egzistuoja intervalas (n, 2n) be pirminių. Tarkime, kad jis yra tarp gretimų pirminių pk ir pk+1 , taigi pk < n < 2n < pk+1 . Matome, kad pk+1 / pk > 2.

Teiginys įrodytas.