Kaip gimė vienas didžiausių matematikos trilerių: dėl jo vieni kovėsi dvikovoje, kiti baigdavo savo gyvenimą savižudybe (Pirma dalis)

Mėgėjų kunigaikščio iššūkiai

Pjeras de Ferma pradėjo teisininko karjerą 1631 metais Prancūzijoje, Tulūzos parlamente patarėju. Jis neturėjo didelių politinių ambicijų ir todėl stengėsi veiksmingai atlikti savo pareigas, neatkreipdamas į save didelio dėmesio bei vengdamas netvarkos ar grubumo parlamente.

Amžininkai jį apibūdindavo kaip sąžiningą, kruopštų, ramų ir malonų žmogų, turintį puikų matematinį bei humanitarinį išsilavinimą, daugelio senųjų ir gyvųjų kalbų žinovą, rašiusį nuostabias eiles. Visą savo energiją ir laisvą laiką, likdavusį nuo tarnybos, ponas Ferma skirdavo loginiams galvosūkiams spręsti, ir, kai jam nereikėjo posėdžiauti, pasiunčiant dar vieną nusidėjėlį ant laužo ar ešafoto, jis pasinerdavo į savo mėgstamą užsiėmimą.

Nors Ferma nerašė jokių knygų, o tik laiškus draugams ar į galvą atėjusias geras mintis, palaipsniui jis tapo vienu iš labiausiai pripažintų Prancūzijos matematikų.

Pagrindinis jo įkvėpimo šaltinis buvo 1621 metais išleistas lotyniškas Diofanto vadovėlio „Aritmetika“ vertimas. Spręsdamas Diofanto lygtis, o paskui pats pradėjęs kurti uždavinius bei teoremas, Ferma užsirašydavo tik pačius būtiniausius dalykus, reikalingus įsitikinti sprendimo teisingumu, ir nesivargindavo kur nors užrašyti likusį įrodymą.

Dažniausiai paskubom padaryti užrašai keliaudavo tiesiai į šiukšlių dėžę, o Ferma ramiausiai pereidavo prie kito uždavinio.

Laimei, jo turimas „Aritmetikos“ vertimas turėjo plačias paraštes, ir Ferma dažnai užrašydavo savo mintis ir komentarus jose.

Pastabos paraštėse ir laiškai, parašyti kitiems to meto mokslininkams, tapo neįkainojamais, nors ir labai skurdžiais, ryškiausių Ferma skaičiavimų ir atradimų įrodymais.

Ferma buvo tyrinėtojas mėgėjas, matematika nebuvo jo profesija, tad žinomas mokslo populiarintojas Erikas T. Belas, parašęs daugelio žymių matematikų biografijas, jį pakrikštijo „Mėgėjų kunigaikščiu“.

Publikacijos ir pripažinimas jam nieko nereiškė, ir jis jautėsi laimingas, galėdamas netrikdomai atsiduoti savo aistrai įrodinėti ir kurti naujas teoremas.

Ferma buvo geras šelmis ir, susisiekdamas su kitais matematikais, erzindavo juos savo paslaptingumu. Laiškuose išdėstęs savo naujausias teoremas ir nepateikęs jokių įrodymų, jis tarsi mesdavo iššūkį kitiems. Tai, jog jis niekada neatskleisdavo savo įrodymų, sukeldavo didelį nusivylimą.

Rene Dekartas pavadino Ferma pagyrūnu, o anglų matematikas Džonas Valis vadindavo jį „tas prakeiktas prancūzas“.

Kartą Ferma nustatė, kad skaičius 26 yra vienintelis, iš kurio atėmus 1, gausime kvadratą, o pridėjus 1 – kubą (iš tikrųjų, 26−1=5², 26+1=3³), ir metė iššūkį matematikų bendrijai, siūlydamas tai įrodyti.

Nepaisant uždavinio formuluotės paprastumo, jo sprendimas buvo gana sudėtingas, ir Ferma mėgavosi, šaipydamasis iš anglų matematikų D. Valio ir K. Digbio, kurie galų gale buvo priversti prisipažinti pralaimėję, nes nesugebėjo įveikti šio uždavinio.

Laimei, vyriausiasis Ferma sūnus, Klementas-Samiuelis, suvokęs visą didžiausios tėvo aistros reikšmę, nusprendė, jog jo atradimai neturėtų pradingti.

Penkerius metus Klementas-Samiuelis rinko bei tyrė neaiškius tėvo užrašus bei pastabas „Aritmetikos“ paraštėse, ir atliko nepaprastai sudėtingą ir atsakingą darbą, 1670 metais Tulūzoje išleidęs knygą „Diofanto Aritmetika su p. de Ferma pastabomis“.

Kai Ferma „pastabos“ tapo žinomos platesniam mokslininkų ratui, visi suprato, kad laiškai, kuriuos jis siųsdavo savo kolegoms, buvo tik trumpos ištraukos iš pasakiško atradimų lobyno.

Tarp užrašytų Ferma ranka pastabų buvo gausu naujų teoremų, užrašytų visiškai be paaiškinimų, arba turėjusių tik nedidelę įrodymų santrauką, kurioje būdavo pateikiama tik keletą loginių žingsnių, leidžiančių suprasti, jog Ferma žinojo įrodymo seka.

Čia vertėtų prisiminti, jog Ferma gyveno ir kūrė baigiantis vėlyvojo Renesanso epochai, kai Europoje suklestėjo baroko architektūra, menai ir knygų leidyba. Tą laikmetį geriausiai apibūdina posakis, jog trys gražiausi pasaulyje dalykai yra šokanti moteris, šuoliuojantis žirgas ir išskleistomis burėmis plaukiantis laivas.

Kultūros klestėjimą lydėjo spartus pramonės ir prekybos vystymasis, nulėmęs daugelio mokslų atsiradimą ir raidą.

Nors Pjeras de Ferma domėjosi, iš pirmo žvilgsnio, nereikšmingais galvosūkiais, jo įžvalgų galima atrasti daugelio mokslų, pradėjusių savo plėtotę tuo metu, ištakose, ir nemažai jų pasiekė net mūsų laikus.

1636 m. Ferma atrado spiralę, vėliau pavadintą jo vardu, kurią, pasirodo, galima pritaikyti saulėgrąžos, ramunių ar kitų astrinių (graižažiedžių) augalų žiedynams aprašyti (1 pav.), bet ne tik tuo tikslu.

Dabar randama būdų, kaip šią spiralę būtų galima pritaikyti kompiuterių grafikoje arba išdėstyti jos elementus saulės elektrinių veidrodžiuose, ir pan. O vyresniųjų klasių moksleiviams mokyklose dažnai tenka spręsti uždavinius, taikant minimumo arba maksimumo sąlygą, kurią pirmasis nustatė Ferma.

Nepriklausomai nuo Dekarto jis pradėjo algebrines išraiškas vaizduoti geometriškai, t. y., sukūrė analitinės geometrijos pradmenis.

Jis mokėjo anksčiau už Izaoką Niutoną taikyti diferencijavimo ir integravimo metodus sudėtingų figūrų plotams apskaičiuoti arba išvesti liestinėms.

Beje, I. Niutonas minėjo, kad, būtent, pažintis su Ferma darbais jį paskatino sukurti diferencialinį ir integralinį skaičiavimą.

Kartu su Paskaliu Ferma gali būti laikomas tikimybių teorijos pradininku. Ferma vardu pavadintas pagrindinis geometrinės optikos dėsnis, pagal kurį šviesa sklinda tokiu keliu nevienalytėje terpėje, kuriam reikia trumpiausio laiko ir t. t.

Tačiau didžiausių nuopelnų Ferma pasiekė skaičių teorijoje. Ferma atrado, jei a nesidalija iš p ir p yra pirminis, tai (a^p−1−1) dalijasi iš p. Pavyzdžiui, tegul a=2, p=7. Skaičius 7 yra, be abejo, pirminis. Taigi, a^p−1−1=2⁷⁻¹−1=63=7⋅9.

Šis rezultatas, pavadintas Mažąja Ferma teorema, turi labai daug apibendrinimų bei pritaikymų. Skaitytojams siūlome priimti Mėgėjų kunigaikščio iššūkį ir pabandyti šią teoremą įrodyti patiems. Tie, kam pritrūks kantrybės, gali rasti įrodymą straipsnelio pabaigoje.

Ferma taip pat teigė, jog bet kurį pirminį skaičių, kuris dalijasi iš 4 su liekana 1, galima išreikšti dviejų kvadratų suma, ir tik vieninteliu būdu, o besidalijantį iš 4 su liekana 3, taip išreikšti jau nebegalima.

Ir iš tikrųjų: 5=2²+1²; 13=3²+2², 17=4²+1², … , o 23=4⋅5+3 šitaip išreikšti jau nebeįmanoma.

Vienas žymiausių visų laikų matematikų, šveicaras Leonardas Euleris, daug metų dirbęs Sankt Peterburge, sugaišo 7 metus, kol įrodė šią Ferma hipotezę, kurią pats Ferma įrodinėjo jo atrastu “nusileidimo metodu”.

Ferma taip pat sukūrė skaičiaus daliklių sistemingo radimo būdą, atrado, jog bet kurį sveikąjį skaičių galima išreikšti ne daugiau nei keturių kvadratų suma bei daugybė kitų atradimų, kurie aplenkė savo laikmetį, buvo pamiršti ir po ilgo laiko vėl atrasti.

1989 m. Tulūzos universitetas įsteigė Ferma premiją (20 000 Eur), kuri kas dveji metai įteikiama už reikšmingus tyrimus mokslo srityse, prie kurių ištakų jis prisidėjo. Viso jau įteikta 14 premijų.

Matematikos trilerio pradžia

O didžiausios šlovės sulaukė Ferma iššūkis, kurį jis metė visam pasauliui. Tikriausiai, daugelis skaitytojų iš vidurinės mokyklos matematikos pamokų dar prisimena Pitagoro teoremą, tvirtinančią, jog stataus trikampio statinių kvadratų suma yra lygi įstrižainės kvadratui? Sprendiniai, kuriuos galima išreikšti sveikais skaičiais, yra įdomiausi, pvz., jei stačiakampio kambario sienų ilgiai yra atitinkamai 3 m ir 4 m, tai nesunku įsitikinti, jog atstumas tarp tolimiausių kambario kampų bus 5m, nes 9+16=25, t. y., 3²+4²=5². Taigi, perrašinėdamas įvairiais būdais Pitagoro lygtį, Ferma mėgino pastebėti kažką tokio, ko nepastebėjo kiti. Staiga jam kilo geniali mintis, kuri padarė Mėgėjų kunigaikščio vardą nemirtingą.

Ferma sugalvojo lygtį, labai panašią į Pitagoro:

xⁿ+yⁿ=zⁿ,

kuri, jo nuomone, neturi nė vieno sveikaskaičio sprendinio! Diofanto „Aritmetikos“ paraštėse Ferma 1637 m. paliko tokį pastebėjimą: „Neįmanoma kubo užrašyti dviejų kubų suma, arba ketvirtą laipsnį užrašyti ketvirtų laipsnių suma, arba, bendrai bet kuriam skaičiui, kuris yra aukštesnio laipsnio, nei antras, būti užrašytam dviejų to paties laipsnio skaičių suma. Aš radau iš tiesų nuostabų šio teiginio įrodymą, bet paraštės čia per siauros jam sutalpinti.“

Ir tame visas Ferma! Nors jis niekam neatskleidė savo įrodymo, garsas apie Didžiąją Ferma teoremą, kaip ji vėliau buvo pradėta vadinti, pasklido labai plačiai.

Per dešimtmečius ir šimtmečius, praėjusius po knygos su Ferma pastabomis išleidimo, viena po kitos buvo patikrintos arba įrodytos visos Ferma pastabos, užrašytos Diofanto „Aritmetikos“ paraštėse, bet pastangos įrodyti Didžiąją Ferma teoremą likdavo bergždžios, nors spręsti šį uždavinį ėmėsi daugelis profesionalių matematikų ir matematikos mėgėjų. Apie šio matematikos trilerio peripetijas pakalbėsime kitąkart, nes viename straipsnelyje jas nėra paprasta išguldyti.

Mažosios Ferma teoremos įrodymas

Įrodysime prieštaros būdu, kad jei a^p−1 nesidalija iš p, tai padalijus visus sekos 1⋅a,2⋅a,3⋅a,…,(p−1)⋅a narius iš p, liekanos irgi bus skirtingos.

Iš tikrųjų, sakykime, tegul pavyktų rasti du skirtingus šios sekos narius, besidalijančius iš p su vienodomis liekanomis. Tuomet šių skaičių skirtumas, be abejo, turi dalintis iš p, nes liekanos juk vienodos.

Kita vertus, kadangi visi sekos nariai dalijasi iš a, bet kurių skirtingų šios sekos narių skirtumas turi dalintis iš a taip pat. Kadangi skaičius a nesidalija iš p pagal padarytą prielaidą, minėtas skirtumas turi dalintis iš sandaugos a∙p.

Kita vertus, skirtingų sekos skaičių skirtumas yra nelygus nuliui, tad jo mažiausia galima reikšmė yra a∙p. Tačiau nagrinėjamoje sekoje visi skaičiai mažesni už a∙p, tad ir jų skirtumas turi būti mažesnis (absoliutiniu didumu) už šį skaičių.

Gavome prieštaravimą, nes padalinti skaičių iš didesniojo ir gauti sveiką dalmenį yra neįmanoma. Taigi, įrodėme, jog dalijant aukščiau minėtos sekos narius iš p, bus gautos skirtingos liekanos. Tad liekanos, kurių iš viso yra (p - 1), turi būti skirtingos ir mažesnės už p. Tai įmanoma tik tokiu atveju, kai liekanų aibę sudaro visi skaičiai nuo 1 iki p – 1.

Pažymėkime, kaip įprasta matematikoje, visų skaičių nuo 1 iki p-1 sandaugą per (p−1)!, t. y. 1⋅2⋅3…⋅(p−1)=(p−1)!. Dabar sudauginkime visus nagrinėjamos sekos narius ir gautą sandaugą užrašykime tokiu būdu:

1⋅a⋅2⋅a⋅3⋅a⋅…⋅(p−1)⋅a=(p−1)!⋅a^p−1.

Kadangi nė vienas šios sandaugos dauginamasis nesidalija iš p, iš p nesidalija ir visa sandauga. Nesunku pastebėti, jog šią sandaugą padalijus iš p, gauta liekana sutaps su visų dauginamųjų liekanų sandaugos liekana.

O ką tik įrodėme, jog ši dauginamųjų liekanų sandauga sutaps su visų skirtingų skaičių nuo 1 iki p-1 sandauga, t. y., (p−1)! Taigi, gausime, kad (p−1)!⋅a^p−1 ir (p−1)!, dalijant iš p, turi tą pačią liekaną.

Iš čia seka, kad skirtumas (p−1)!⋅a^p−1−(p−1)! turi dalintis iš p. Pastarąją išraišką suprastinę iš nesidalijančio p skaičiaus (p−1)! (juk p pirminis!), gauname, jog a^p−1−1 turi dalintis iš p, ką ir reikėjo įrodyti.

Leonidas Sakalauskas, VU Matematikos ir informatikos institutas