Matematikų šimtmečių gėda bandant įveikti garsiausią matematikos galvosūkį: geriausių trilerių verta istorija (Antra dalis)

Apie šio uždavinio atsiradimą rašėme čia. Ar Ferma buvo radęs problemos sprendimą? Kodėl garsiausi pasaulio matematikai patyrė nusivylimą ir nesugebėjo išspręsti šį iš pirmo žvilgsnio paprastą galvosūkį?

Ar P. Ferma įrodė savo didžiąją teoremą?

Nors P. Ferma Diofanto knygos, kurią po jo mirties išleido jo sūnus, paraštėse rašė, jog žino šio uždavinio sprendimą, nei jo užrašuose, nei pastabose, nei laiškuose kitiems to meto matematikams užrašyto įrodymo aptikti nepavyko.

Greičiausiai Ferma įrodymas buvo klaidingas, nes vėliau buvo rastas jo sukurtas įrodymas tik dėl n = 4, t. y., jis įrodė, kad jokio sveiko skaičiaus ketvirto laipsnio negalima išreikšti kitų dviejų sveikųjų skaičių ketvirtųjų laipsnių suma. Jei Ferma žinojo įrodymą, kodėl jis užrašė jį tik šiuo, o ne bendruoju atveju?

Tik praėjus šimtui metų po Ferma mirties pirmą kartą pavyko žengti žingsnį link jo problemos sprendimo.

1753 m. vienas žymiausių visų laikų matematikų, šveicaras Leonardas Euleris, daug metų dirbęs Sankt Peterburge, Rusijoje, pranešė prūsų matematikui Kristianui Goldbachui, jog jam pavyko sėkmingai įrodyti Didžiąją Ferma teoremą, kai n = 3, kitaip tariant, jis įrodė, kad jokių dviejų sveikųjų skaičių kubų suma negali būti lygi trečio sveikojo skaičiaus kubui.

Beje, Euleris šį uždavinį sprendė panašiu “nusileidimo” būdu, kurį Ferma taikė, kai n = 4. Tačiau bandymai rasti įrodymą bendru atveju buvo bergždi, ir, netekęs vilties išspręsti uždavinį, Euleris paprašė vieno savo draugo iškrėsti Ferma namą, ieškant galbūt kur nors paslėpto įrodymo.

Matematikų konkurencija

XIX a. pradžioje jau buvo žinomi visų galvosūkių, užrašytų Ferma paliktose pastabose bei užrašuose, sprendimai. Liko tik nežinoma, ar teisinga 6 pastaba, Ferma užrašyta Diofanto „Aritmetikos“ knygos paraštėse, kuri todėl vėliau taip pat buvo vadinama ir Paskutiniąja Ferma theorema (Last Fermat Theorem - angl.).

Ši teorema buvo jau gerai žinoma to meto matematikams, kurie nesėkmingai bandė ją įveikti. Svarbų žingsnį čia padėjo žengti Paryžiaus pirklio dukė Sofi Žermen, iš esmės pakeitusi Didžiosios Ferma teoremos istoriją, ir aptikusi kelią rasti geresnį sprendimą, nei sprendimas, kurį buvo radę vyrai, bandę tai padaryti iki jos.

Kadangi to meto Prancūzijoje studijuoti universitetuose galėjo tik vyrai, Sofi slapta mokėsi Aukštojoje Politechnikos mokykloje Paryžiuje, priėmusi buvusio akademijos mokinio mesje Antuano Augusto Leblano tapatybę.

Galima pastebėti, jog Ferma teoremą pakanka įrodyti tik dėl pirminių skaičių: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … . Tokiu atveju teorema liks galioti ir dėl sudėtinių skaičių ir uždavinys labai supaprastėja.

Sofi pateikė elegantiškus samprotavimus, iš kurių sekė, jog sprendžiant Didžiąją Ferma problemą, nereikia nagrinėti ir visų pirminių, o pakanka išnagrinėti tik tokius pirminius laipsnius p, kai 2p+1 yra taip pat pirminis.

Šitokie pirminiai dabar vadinami Sofi Žermen skaičiais. Jų pavyzdžiai: 5=2x2+1, 7=2x3+1, 23=2x11+1, 47=2x23+1, … .

Pasinaudojus Sofi Žermen pasiūlytu metodu pavyko įrodyti teoremą, kai n = 5 ir n = 7.

Po Sofi Žermen metodo laimėjimų, Prancūzijos Mokslų Akademija pasiūlė apdovanoti aukso medaliu ir 3000 frankų premija tą mokslininką, kuris pagaliau padėtų atskleisti visiems Didžiosios Ferma teoremos paslaptį.

Stoję į varžybas, žymiausi XIX a. matematikai, Ogiustas Koši ir Gabrielis Lame, ilgai atidėliojo galutinio sprendimo pateikimą Akademijai. Tačiau pagaliau atėjo diena, kai vokai su pretendentų atsiųstais įrodymais buvo atplėšti, o įrodymai paviešinti.

Tačiau Akademija taip pat sulaukė vokiečių matematiko Ernsto Kumerio laiško, kuriame jis nurodė subtilią klaidą, slypėjusią pateiktuose premijai įrodymuose.

E. Kumeris taip pat atrado būdą tyrinėti atskirai paimtą duoto laipsnio Ferma lygtį, tačiau tai buvo susiję su vienintele problema – reikėjo atlikti didžiulius skaičiavimus.

O. Koši pasiūlius Prancūzijos Akademija 1856 m. įteikė Ernstui Kumeriui aukso medalį už jo indėlį į Ferma problemos tyrimus.

Didžiąją problemą atakuoja mėgėjai

Pasinaudojęs savo metodu, E. Kumeris įrodė Ferma teoremą dėl visų skaičių, mažesnių už šimtą. Tačiau po Ernsto Kumerio darbų viltys rasti paskutiniosios Ferma teoremos įrodymą dėl bet kokio laipsnio ėmė blėsti vis labiau, ir ši problema pamažu pradėta laikyti matematiniu kuriozu, kurio sprendimas susijęs su beviltiškomis pastangomis.

Tačiau, kaip, beje, dažnai nutinka ir klasikiniuose trileriuose, šioje matematinėje istorijoje įvykiai pasisuko taip, jog susidomėjimas Ferma teorema atgijo ir dargi su nauja jėga.

Tai pavyko padaryti Poliui Volfskeliui, Vokietijos pramonininkui iš Darmštadto, susižavėjusiam gražia moterimi, kurios tapatybė liko neatskleista. Volfskelio nelaimei, paslaptingoji moteris atstūmė jį, nepaisydama jo turtų ir gebėjimų, ir paliko tokioje visiško nusivylimo būsenoje, jog jis nusprendė nusižudyti.

Volfskelis buvo aistringas vyras, bet ne karštakošis. Jis kruopščiai suplanavo savo mirtį – paskyrė datą savižudybei, nusišaunant lygiai vidurnaktį. Likusias dienas jis sprendė visus neatliktus verslo reikalus, o paskutinę dieną parašė testamentą ir laiškus artimiems draugams bei šeimai. Volfskelis taip puikiai suplanavo laiką, kad visi darbai buvo užbaigti likus dar šiek tiek laiko iki vidurnakčio.

Tuomet jis nuėjo į biblioteką praleisti likusias jam gyventi valandas, ir netrukus pagavo save besigilinantį į klasikinį Kumerio darbą, kuriame buvo aiškinama, kodėl Koši ir Lame patyrė nesėkmę. Volfskelis skaitė eilutę po eilutės ir netikėtai pasimetė, nes jam pasirodė, jog logika nutrūko – Kumeris padarė prielaidą, tačiau nepajėgė pagrįsti savo žingsnio. Volfskelis norėjo sužinoti, ar jam pavyko atskleisti rimtą klaidą, ar Kumerio prielaida buvo visgi pakankamai pagrįsta.

Viską pamiršęs, jis vertė puslapį po puslapio, visiškai pasinėręs į įrodymus, o kai atsitokėjęs pakėlė galvą nuo knygos, jis pamatė, jog jau aušta, nors vidurnaktį jis turėjo nusišauti. Bet pedantiškai nustatytas savižudybės momentas jau buvo praėjęs, o Volfskelis taip didžiavosi tuo, jog jam pavyko aptikti spragą Kumerio darbe, kad jo neviltis ir liūdesys bematant išgaravo. Teorema gražino jam norą gyventi!

Volfskelis sunaikino savo atsisveikinimo laiškus ir perrašė savo testamentą. Kai po jo mirties 1908 m. buvo perskaitytas naujasis testamentas, jo šeima liko sukrėsta, sužinojusi, jog Polis paliko 100 000 markių, kurių vertė būtų daugiau nei 1 000 000 britų svarų šių laikų pinigais, tam asmeniui, kuris per šimtą metų po jo paskutinės valios paskelbimo įrodytų paskutiniąją Ferma teoremą.

Getingeno universitetą, kuris buvo atsakingas už testamento vykdymą, užgriuvo rankraščių, kuriuose, nieko keisto, - visi įrodymai buvo klaidingi, lavina. Nors kiekvienas autorius teigė, kad išsprendė šią šimtmečių senumo problemą, jie visi gudravo arba darė logines klaidas.

Įrodymų srautas nemažėdamas tęsėsi metų metais, netgi po dramatiško Volfskelio prizo nuvertėjimo per hiperinfliaciją, sekusią po pirmojo pasaulinio karo.

Beje, mėgėjų spręsti Ferma problemą, visada pasitaikydavo ir Lietuvoje. Galimi sprendimai būdavo siunčiami į Matematikos ir informatikos institutą, ir instituto direktorius akademikas Vytautas Statulevičius ieškodavo aspirantų, kurie surastų jame dar vieną klaidą (teko matyti tokių sprendimo bandymų, - L. S.).

Matematikų gėda

Kai mėgėjai nepaliaujamai atakavo didžiąją problemą, susidomėjimas ja tarp profesionalų matematikų tebebuvo atslūgęs. Matematikai vengdavo užsiimti šio uždavinio sprendimu, reikalaujančiu daug laiko ir pastangų, kai vilties rasti sprendimą beveik nėra. Paskutiniųjų matematikos pasiekimų šviesoje kai kuriue iš jų ėmė linkti prie nuomonės, jog ši problema yra neišsprendžiama, t. y., jos teiginio neįmanoma nei įrodyti, nei paneigti.

Reikia paminėti, kad vokiečių logikas Kurtas Giodelis 1931 m. įtikinamai parodė, jog matematikoje turi būti teiginių, kurių negalima nei įrodyti, nei paneigti.

1963 m. amerikiečių matematikas Polis Koenas, pasinaudodamas Giodelio išvadomis, įrodė vienos iš Gilberto problemų – kontinuumo hipotezės, neišsprendžiamumą.

Dar vėliau, rusų matematikas Jurij Matijasevič 1970 m. išsprendė 10-ąją Gilberto problemą, įrodęs jog neegzistuoja jokio baigtinio metodo atsakyti, ar pasirinkta diofantinė lygtis turi sprendinį.

Tiesa, jo įrodyme buvo netikslumų, tačiau karttu su kiitais bendraautoriais juos pavyko ištaisyti.

O ką, jei paskutinioji Ferma problema taip pat yra neįišsprendžiama, juoba Ferma lygtis yra diofantinė?

Kompiuterių pasirodymas netikėtai suteikė naują įrankį teoremos įrodinėjimui. Praeito šimtmečio devinto dešimtmečio pradžioje programuotojai ir matematikai patikrino Ferma teoremos teisingumą iki 4 milijonų. Tačiau atėmus iš begalybės, kad ir trilijonų trilijoną begalybė vistiek liks begalybe. Juk norint įrodyti Didžiąją teoremą, ją reikia įrodyti dėl visų skaičių, einančių į begalybę!

Davidas Lodžesas (David Lodge) savo knygoje „Einantys į paveikslus“ („The Picturegoers“) pateikia gražų amžinybės aprašymą, kuris yra susijęs su lygiagrečia begalybės sąvoka: „Pagalvokite apie plieno kamuolį, tokį didelį, kaip Žemė ir tai, jog skrendate aplink išlipdami ant jo kartą per milijoną metų. Kuomet plieno kamuolys išnyks nuo sukeltos trinties, amžinybė dar net nebus prasidėjusi“.

Ferma labai domino “neįmanomi” uždaviniai, t. y., tokie, kurie neturi sprendinio. O pats garsiausias neįmanomas” uždavinys – Didžioji Ferma Teorema. Įrodyti „neįmanomumą“ yra daug sunkiau negu surasti sprendinį, jei jis egzistuoja. Įrodžius šią teoremą dėl kokio nors, kad ir labai didelio laipsnio, nebuvo jokių garantijų, kad ji liks teisinga, paėmus kitokį laipsnį. Kažkas sako, sprendinio nėra, o jam taukšt – sprendinys, ir jis sėdi baloje. O kaip įrodyti nebuvimą ? - Ieškojau, ir neradau. - Blogai ieškojai. Gal sprendinys ir yra, tu tik blogai ieškojai, nes jis labai didelis.

Taip, ši teorema yra labai žinoma, ir yra tapusi “stabu”, kurį garbina matematikos mėgėjai ir profesionalai visame pasaulyje. Sunku rasti kitą tokią mokslo problemą, kuri būtų taip paprastai formuluojama, ir kuri taip ilgai atlaikytų nuolatines pastangas ją išspręsti, pasitelkiant vis tobulėjančias mokslo žinias.

Prisiminkime didžiulę pažangą fizikos, chemijos, biologijos, medicinos ir inžinerijos moksluose, besivystančiuose nuo septynioliktojo amžiaus. Nuo „humorų“ viduramžių medicinoje buvo nueitas kelias iki genų inžinerijos medicinoje, nustatytos pagrindinės atomo dalelės, pavyko nugabenti žmogų į Mėnulį, tačiau didysis Ferma iššūkis likdavo neįveiktas.

Leonidas Sakalauskas, VU Matematikos ir informatikos institutas