Mokslo ir technologijų pasaulis
Kitoks Lietuvos mokslininko požiūris į matematiką: kaip išvengti iracionalaus skaičiaus e ir begalinių eilučių
Publikuota: 2011-06-14
Rūšis: Standartinė publikacija
Aut. teisės: www.technologijos.lt
Autoriai:

Daugelis specialistų savo darbuose naudoja funkciją vadinama eksponente (exp). Tai rodiklinė funkcija, kurios pagrindas yra iracionalus skaičius 2,7182818285... Kaip ir iracionalaus skaičiaus π, šio skaitmenis po kablelio galima ieškoti ilgai ir nuobodžiai.

Šis skaičius dažniausia žymimas raide e. Funkcija exp skaičiavimo prasme yra nepatogi, kadangi jos reikšmės gali būti suskaičiuotos tik išskleidus ją begaline eilute (kaip ir sin)

Iš kur atsirado iracionalus skaičius, žymimas raide e? Matematikai ilgai ieškojo kaip surasti integralą (plotą), kai pointegralinė funkcija yra lygiašonė hiperbolė.

Jeigu hiperbolė yra kvadratinė, viskas išsisprendžia lengvai.

Po ilgų ieškojimų, matematikas Nikolai Merkurov 1686m. surado, kad plotą po lygiašone hiperbole (2) galima surasti, jeigu integravimo rėžiai bus nuo 1 iki 2,7182818285… Toks integralas bus lygus logaritmui, kurio pagrindas yra 2,7182818285…

Vėliau šis integralas pavadintas natūriniu ir žymimas ln. Kaip matome, istorija yra sena ir įdomi. Vėliau pasirodė, kad skaičius e yra įdomus matematikai.

Kas iš to išplaukia mūsų dienų taikomojoje matematikoje?

Išvada Nr.1. Yra diferencialinė lygtis

Jeigu lygtyje galioja

diferencialinė lygtis (4) – tiesinė. Jeigu lygtyje galioja

diferencialinė lygtis (4) – netiesinė ir jos sprendinys yra

arba

Tiesinės diferencialinės lygties sprendinys yra

Išvada Nr. 2 Rimtam darbe, pasirenkant objekto matematinį modelį, reikia pradėti nuo diferencialinės lygties ir tik po to pereiti prie diferencialinės lygtie sprendimo – matematinio modelio (funkcijos) kurį naudosite skaičiavimuose. Pailiustruokime šią išvadą paprastu spyruoklės pavyzdžiu.

Pavyzdys Nr 1

Spyruoklės diferencialinė lygtis yra

Čia y visada yra mažesnė už L.

Mėgstantys „linerizuoti“, diferencialinę spyruoklės lygtį rašo:

Čia tempiamos spyruoklės ilgis y gali būti ilgesnis už visiškai ištemptos spyruoklės vielos ilgį L. Fiziko akimis žiūrint, tai nesąmonė. Be to, skaičiuojant pagal šį matematinį modelį, exp reikia išskleisti į begalinę eilutę, kas komplikuoja skaičiavimo procedūras.

Pavyzdys Nr.2

Paimkime kitą pavyzdį iš visai kitos srities – elektrotechnikos (elektronikos). Diodo (p-n sandūros) voltamperinė charakteristika, gaunama, išsprendus tiesinę diferencialinę lygtį. Gaunama funkcija

Jeigu procesai p-n sandūroje aprašomi netiesine diferencialine lygtimi, voltamperinė charakteristika bus

Ką tai duoda tranzistorinių schemų skaičiavimuose? Paimkime paprasčiausia pavyzdį. Nuosekliai sujungtas diodas ir varža. Tokios schemos charakteristika, naudojantis klasikiniu modeliu bus

Iš (5) gauti priklausomybę

negalima, nors tokia funkcija dažnai būna reikalinga.

Pavyzdys Nr.3

Mechanikos pagrindai kuriami naudojantis Niutono visuotino traukos dėsniu. Gravitacijos dėsnis nusako jėgą F, kuri veikia kūną. Kūno masė m. Žemės masė M.

Čia r – kūno, kurio masė m, atstumas nuo Žemės centro.

Darbas, kuri reikia atlikti, norint pakelti kūną, kurio masė m, iki aukščio r, skaičiuojamas taip:

Kaip matome, priklausomybė (7) yra geometrinės progresijos funkcijos gpx atvirkštinė funkcija agpx.

Jeigu kūno pakėlimo aukštį matuosime ne nuo Žemės centro, o nuo Žemės paviršiaus

Pavyzdys Nr.4

Teorinėje elektrotechnikoje vienas iš fundamentalių dėsnių yra Kulono dėsnis. Kulono dėsnis nustato, kad du krūviai veikia vienas kitą jėga, kuri yra atvirkščiai proporcinga atstumo tarp jų kvadratui

Darbas, kuri reikia atlikti perkeliant elektros krūvį (matuojamą kulonais) iš vieno taško į kitą ir yra įtampa arba potencialų skirtumas (matuojamas voltais). Potencialų skirtumas (įtampa) sferiniame kondensatoriuje, kurio vidinės (mažesnės) sferos spindulys r = 1 , o išorinės (didesnės) sferos spindulys yra r, bus:

Priklausomybė (8) yra geometrinės progresijos funkcijos gph atvirkštinė funkcija agp

Abiem atvejais, gautos priklausomybės nėra transcendentinės funkcijos, o yra neosinusai gph arba tph.

Kaip matome jokiais iracionaliais skaičiais e net nekvepia. Priežastis ta, kad pradinės diferencialinės lygtys yra netiesinės.

Paminėsime tik kelias geometrinės progresijos funkcijos savybes.

Gerai žinomos hiperbolinės funkcijos

Perėjus nuo exp prie geometrinės progresijos funkcijų gpx, gausime

Išvadas darykite patys.

Funkcija exp plačiai naudojama kompleksinių skaičių teorijoje. Žinomos kelios bazinės priklausomybės:

Perėjus prie geometrinės progresijos funkcijų, gausime

Kitas geometrinės progresijos funkcijų savybes galite rasti dr. Donaldo Zanevičiaus knygose h-geometrijos tematika.